第2章 7 实际问题中导数的意义（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)汽车经过启动、加速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象不可能是(　　) 解析　加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故图象不可能是B，C，D. 答案　BCD 2．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 解析　由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 答案　C 3．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　) A. cm2　　　　　 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析　设一个三角形的边长为x cm， 则另一个三角形的边长为(4－x)cm， 两个三角形的面积和为 S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4. 令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2. 答案　D 4．设球的半径为，该球的内接圆锥(顶点在球面上，底面为某平面与球的截面)的体积为V，则V的最大值为____________． 解析　依题意可知圆锥与球的轴截面如图所示．设圆锥的底面圆半径为r，高为h，则2＋r2＝2，即r2＝h－h2，所以V＝πr2h＝π，求导可得V′(h)＝π(h－h2)．当0＜h＜1时，V′(h)＞0，当1＜h＜时，V′(h)＜0，所以V(h)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，所以当h＝1时，体积取得最大值，为. 答案　 5．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中．当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为____________． 解析　设水深为h时，水面半径为r， 则＝，所以r＝h. 经过t s后，水的体积为20 t， 则20 t＝π2·h， 即h(t)＝， 所以h′(t)＝×－. 又h＝4时，r＝，V＝3π， 所以t＝，h′＝. 解析　 cm/s 6．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 解析　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m， 即n＝－1. 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ＝256＋(2＋)m ＝＋m＋2m－256. (2)由(1)知， f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)． 令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 当0＜x＜64时，f′(x)＜0， 故f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64＜x＜640时，f′(x)＞0， 故f(x)在区间(64,640)上为增函数． 所以f(x)在x＝64处取得最小值， 此时，n＝－1＝－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y最小． [关键能力·综合提升] 7．(多选题)为满足人民对美好生活的向往，某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 下列四个结论中正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 解析　平均变化率－表示区间端点连线斜率的负数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，A正确；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，B正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，C正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的时间内，污水治理能力最强，D错误． 答案　ABC 8．一列火车的锅炉每小时消耗煤