2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，． (1)如图，当时，求的度数． (2)如图，当时，求证：． (3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____． 2．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿以的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点D匀速运动，到达点D后，继续沿以的速度向终点A匀速运动．连接，以、为边作，连接交于点F，设点P的运动时间为x（s），与矩形重叠部分图形的面积为． (1)当点Q在边上，是等腰三角形时，求x的值． (2)当点Q在边上，与相似时，求x的值． (3)求y与x之间的函数关系式． (4)当是等腰三角形时，直接写出x的值． 3．已知正方形 和正方形 ，连接 交 于点 ，点 是 的中点，过点 作 于 ，，． (1)如图1，点 ，， 在同一直线上，点 在 边上，求 的长； (2)把正方形 绕着点逆时针旋转 ． ①如图2，当点落在上时，求的长； ②如图3，当时，求的长． 4．小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在与中，，，，，． (1)【探索发现】将两个三角形顶点与顶点重合，如图2，将绕点旋转，他发现与的数量关系一直不变，则线段与具有怎样的数量关系，请说明理由； (2)【深入思考】将两个三角形的顶点与顶点重合，如图3所示将绕点旋转． ①当、、三点共线时，连接、，线段、、之间的数量关系为　　； ②如图4所示，连接、，若线段、交于点，试探究四边形能否为平行四边形？如果能，求出、之间的数量关系，如果不能，试说明理由． (3)【拓展延伸】如图5，将绕点旋转，连接，取的中点，连接，则的取值范围为 　　（用含、的不等式表示）． 5．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，若，，，求； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到△，连接，以为斜边向右作等腰直角三角，连接，求的最小值． 6．在菱形中，对角线，交于点，，是线段上一点，连接如图，的角平分线交于点交于点若，交于点，交于点，过点作，交于点． (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)如图，若，连接，过点作于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接如果，在旋转过程中，当值最大时，直接写出的面积． 7．（1）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，． ①求证：； ② ； （2）【思考探究】如图2，矩形中，，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 8．已知在四边形中，，． (1)如图1，连接，若，，则=______． (2)如图2，点P、Q分别在线段、上，且，求证： (3)若点Q在的延长线上，点P在的延长线上，如图3所示，若满足，请直接写出与∠D的数量关系． 9．综合与探究 四边形ABCD是正方形．连接BD，点E，P分别在BD，BC上．连接PE，将线段PE绕点P按逆时针方向旋转得到PF，连接BF，EF (1)如图1，若点P与点C重合，则BF与BD的位置关系是____________． (2)如图2，若点P不与点C重合，（1）中的结论还正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由． (3)连接DF，G是DF的中点，O是BD的中点，连接OG，若正方形ABCD的边长为8，． ①如图3，当点E与点O重合时，求OG的长． ②如图4，当点E与点O不重合，且时，直接写出OG的长． 10．如图1，在中，，平分，且于点D． (1)判断的形状； (2)如图2，在（1）的结论下，若，，，求的长； (3)如图3，在（1）的结论下，若将绕着点D顺时针旋转得到，连接，作交于点F．试探究与的数量关系，并说明理由． 11．材料阅读：图形的旋转：将图形绕一个定点旋转一定角度，这样的图形运动称为图形的旋转．旋转前后的两个图形全等． 【知识引入】 （1）如图1，已知，，，，，连接． ①求证：； ②求的长． 【简单应用】 （2）如图2，在中，，，．若点D满足，且，请直接写出的长 【深入探究】 如图3，在平面直角坐标系中，已知，． （3）如图3，若点C在第一象限，，求证：； （4）如图4，若点C在第二象限，，，，则_____； 12．等腰中，，． (1)如图1，，是等腰