2023年九年级数学中考专题：几何变换压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何变换压轴题 1．数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，，，，点为平面内不与点、重合的任意一点，将线段绕点顺时针旋转，得线段，、分别是、的中点，设直线与直线相交所成的较小角为，探究的值和的度数与、、的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： (1)填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了__________，__________； 小红研究了时，如图2，求出了__________，__________； 【类比探究】 他们又共同研究了时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________（用含、的式子表示）；__________（用含的式子表示）． (2)求出时的值和的度数． 2．（1）【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．如果将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，此时______； （2）【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小宇和同学遇到了如下问题：如图②，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； （3）【学以致用】如图③，在等边中，，点P在内，，，求的面积； （4）【思维拓展】如图④，在四边形中，，垂足为E，；，，（k为常数），请直接写出的长（用含k的式子表示）． 3．阅读下列材料： 问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°． 解决下列问题： (1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______． (2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长． 4．如图，正方形ABCD中，点P为直线BC上不与点B重合的一个动点，以AB为边在正方形内部作等边，以A为旋转中心将AP逆时针旋转60得到AE，连接ME，DE． (1)如图1，当点E落在AD的延长线上时，填空： ①PB与ME的数量关系是______； ②直线PB与直线ME相交所成的锐角的度数为_______； (2)如图2，当点E落在AD外时，（1）中的结论是否仍成立？若果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，直接写出点P运动过程中线段DE长度的最小值． 5．新定义：如图（图，图），在中，把边绕点顺时针旋转，把边绕点逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”， 的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心” (1)【特例感知】 ①若是等边三角形（如图），，则________； ②若（如图），，_______； (2)【猜想论证】 在图中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形．） (3)【拓展应用】 如图，点，，，都在半径为的圆上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点是“旋补中心”， 求的长． 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上一动点． (1)如图①，若BC＝，∠CAD＝15°，求BD的长； (2)如图②，D是BC边的中点，E是BA延长线上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，过点B作BG⊥AF交FA延长线于点G，连接DG．请猜想BG、CF、DG的关系，并证明你的结论； (3)如图③，若AB＝，M是△ABC内部一点，当CM＋AM＋BM取得最小值时，请直接写出△ABM的面积． 7．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN． (1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)当绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由． (3)当AC＝5时，在绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长． 8．已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证： (1)当时，求的值； (2)当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值． 9．一次函数 y=−x+6 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=x相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线