2023年九年级数学中考专题复习：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 1．如图，直线分别交轴、轴于点，过点的抛物线与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴交于点，连接交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：； (3)为抛物线上的一动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点． (1)填空：，　 　、　 　，　 　、　 　，　 　； (2)求抛物线的函数关系式； (3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知：如图，，，点的坐标为，抛物线过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于点，求四边形的面积； (3)在轴上方轴左侧的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N，交直线于点M． ①当点P在线段上时，设的长度为s，求s与t的函数关系式； ②当点P在线段上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图1，平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点B坐标是，点P是抛物线的顶点． (1)请直接写出二次函数的表达式及顶点P的坐标； (2)如图2，设二次函数图象的对称轴与x轴交于点H， ①连接，点D为对称轴上的一点，且与相似，求点D的坐标； ②点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满足，已知点N在抛物线上，以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点E的坐标． 7．如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标． 8．如图1，抛物线交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点T在抛物线上，且，求点T的坐标； (3)如图3，将线段绕点C逆时针旋转至），轴于H，点P为的内心，直接写出的取值范围______． 9．已知二次函数的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D． (1)求该函数图象的对称轴及点D的坐标； (2)设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交于点A，如果，，求该二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t，如果的面积为，求点M的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．点在二次函数的图像上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点的坐标： (2)在x轴上有一点F，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点坐标； (3)点是二次函数图像上一点，过点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为，若，求点的坐标． 11．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B，且． (1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上求一点M，使得△ADM的面积与△ABC的面积相等，求M点的坐标； (3)若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 12．如图，二次函数图像交轴于点，（在的左侧），与轴交于点，轴，交抛物线于另一点，且，为抛物线上一点，轴，与轴交于，与，分别交于点，． (1)求二次函数解析式； (2)当在上方时，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出与的相似比，若不存在，说明理由． (3)点关于直线的对称点为，当点落在抛物线