解三角形中的最值与范围问题讲义-2023届高三数学一轮复习

备战2023年高考一轮复习 专题 解三角形中的最值与范围问题 任何最值与范围问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围与最值问题也不例外．三角形中的范围与最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式(利用正余弦定理化为纯边的关系，再利用基本不等式求解；求范围用函数(利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，结合三角公式转化为一个角的三角函数，再利用三角函数图像与性质求解)．由于三角形中的最值与范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 讲高考 明方向 1、(2020全国Ⅱ卷理17题) 在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求△ABC周长的最大值. 变式： （3）若BC=3，求AB+AC的取值范围. （4）若BC=3，求△ABC面积的最大值. （5）求的取值范围. 多练习 固提升 1、（2023届广东8月开学考）在△ABC中a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c＝2b，则角B的取值范围是_______________ 2、（2020浙江高考）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 3、（2022届惠州高三第二次调研）在中，内角，，的对边分别为，，， 已知. （1）求； （2）若是锐角三角形，且，求边长的取值范围. 高考难 可选做 4、（2022届广东高三金太阳联考）已知a，b，c分别为钝角内角A，B，C的对边， 且. （2）若，，求c的取值范围. 5、（2022全国甲卷（理）16题）已知△ABC中，点D在边BC上，． 当取得最小值时，________． （对比2021全国Ⅰ卷19题（2）属子母题） 6、(2019全国Ⅲ卷18题)的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 7、（2022全国Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． (2020全国卷Ⅱ理科17题) 在中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】 （1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. （2023广东8月开学考）在△ABC中a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c＝2b，则角B的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：cosB 当且仅当a＝c＝b，即△ABC为等边三角形时，cosB． 又∵0＜B＜π，∴B． 故选：D． （2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】 【分析】 （I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】 （I） [方法一]：余弦定理 由，得，即． 结合余弦定， ∴， 即, 即, 即, 即, ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故． [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即． 结合，得． 由临界状态（不妨取）可知． 而为锐角三角形，所以． 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是． [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】 （I）的方法