江苏省南京市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

2022-2023学年南京市第一中学高二上学期期末考试 一．选择题（共8小题） 1．椭圆的短轴的长是　　 A．3 B．4 C．6 D．8 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段中点的横坐标为3，则等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 4．若曲线在处的切线垂直于直线，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 5．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为　　 A．191 B．193 C．195 D．197 6．函数在区间，上的大致图象为　　 7．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为　　 A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共4小题） 9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是　　 A．函数在上递减，在上递减 B．函数在上递增，在上递增 C．函数有极大值（2）和极小值 D．函数有极大值和极小值（2） 10.等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S12<S13,S13>S14,则下列命题中真命题的是（ ） A.公差d<0 B. S15<S12 C.a13是各项中最大的项 D. S13是Sn中最大的值 11．下列命题中是真命题有　　 A．若，则是函数的极值点 B．函数的切线与函数可以有两个公共点 C．函数在处的切线方程为，则当△时， D．若函数的导数，且（1），则不等式的解集是 12.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1=1,曲线Cn，，则下列说法中正确的是（ ） A．若q>0且q≠1，则Cn是椭圆 B．若存在，使得Cn表示离心率为的椭圆，则 C．若存在，使得Cn表示渐近线方程x±2y=0的双曲线，则 D．若q=-2，bn表示双曲线Cn的实轴长，则b1+b2+…..+b20=6138 三．填空题（共4小题） 13．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：　　． ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上； ③离心率为． 14．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是 　　米． 15．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　． 16．如图，抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，过的直线与抛物线交于，两点，使得，又点在轴上的投影为，则　　． 四．解答题（共6小题） 17．在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若_____，求数列的前项和． 在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解． 18．已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值． 19．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值． 20．已知数列的各项均为正数，前项和为，，． （Ⅰ）求数列的项； （Ⅱ）求数列的前项和． 21．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标． 22．设函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若的最小值为0，证明：． 2022-2023学年南京市第一中学高二上学期期末考试 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．椭圆的短轴的长是　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：椭圆的，，且焦点在轴上， 可得椭圆的短轴长为， 故选：． 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段中点的横坐标为3，则等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：由题设知知线段的中点到准线的距离为4， 设，两点到准线的距离分别为，， 由抛物线的定义知： ． 故选：． 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 【解答】 4．若曲线在处的切线垂直于直线，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：由，求导得， 依题意曲线在处的切线垂直于直线， 得，，即． 故选：． 5．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问