第一部分 第六章 命题点1 圆的基本概念与性质（基础知识训练册）-【一战成名】2023云南中考数学考前新方案中考总复习

第六章圆 命题点1圆的基本概念与性质（必考） 2022版课标要求 1.理解圆、孤、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念； 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条孤； 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等孤）所对的圆周角相等，了解并证明圆周角 定理及其推论：圆周角等于它所对孤上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对 的弦是直径；圆内接四边形的对角互补 要点归纳 1.圆的有关概念与性质 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 定义 点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作 ,线段OA 叫作 ,以点O为圆心的圆记作 连接圆上任意两，点的线段叫作弦如图，线段AB,AC是⊙O的弦 弦 经过 的弦叫作圆的直径如图，线段AB是⊙O的直径 大于半圆的弧叫作 (如ABC) 圆上任意两点间 弧 的部分叫作弧 小于半圆的弧叫作 (如AC) 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫 作等弧；能够重合的两个圆叫作等圆 圆心角 顶点在 的角叫作圆心角（如∠BOC) 顶点在 ,并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 圆周角 (如∠BAC) 同圆或等圆的半径 圆的直径等于同圆或等圆半径的倍 圆的 基本 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 性质 圆是中心对称图形 是它的对称中心 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合 失分警示：①圆上任意一条弦对应两段孤；②直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； ③一个圆有无数条直径和半径；④半圆是孤（注意一定不能带直径），但孤不一定是半圆. 89 一战成名·云南数学 2.弦、弧、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 定理 相等，即若∠AOB=∠COD,则AB=CD,AB=CD 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ,所对的弦 ,即若AB=CD,则∠AOB= ,AB= 推论 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角 所对的优弧和劣弧分别 ,即若AB= CD,则∠AOB= ADB CAD,AB=CD 3.垂径定理及其推论 (1)定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧； (3)根据圆的对称性，如图，有以下五个结论 1 ①AC=BC: ②AD= ③AE= ④AB⊥ ； ⑤CD是⊙O的直径 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三， (4)应用 ①如图，过圆心作弦（非直径）的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径）， 0 构造直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算： B ②已知圆心到两条平行弦的距离，求两条平行弦的距离时需要分情况过论： 已知弦AB和弦CD的长，⊙O的半径长，若AB∥CD,求两条弦之间的距离d 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理，在Rt△OBE中求出OE, 利用勾股定理，在Rt△OBE中求出OE, 在Rt△ODF中求出OF,d=OF-OE 在Rt△ODF中求出OF,d=OF+OE 90 一战成名·云南数学 4.圆周角定理及其推论 (1)定理 内容 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 常见图形 结论 ∠APB= ∠AOB (2)推论 推论1 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是 内容 同弧或等弧所对的圆周角相等 90°的圆周角所对的弦是 图形 表示 ①BD=BD,.∠1= ①AB是⊙O的直径，∴.∠C= 形式 ②：DE=BD,.L3=L2=∠1 ②.·∠C=90°，.∴.AB是⊙0的直径 失分警示：①运用圆周角定理的推论时，注意前提条件是“同圆或等圆中”； ②已知圆内一条弦和其对应的圆心角，求其对应的圆周角时要分情况讨论： 情况一：圆周角的顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角的顶点在弦所对的劣弧上 L8-7La ∠B=180°- 2<a (3)圆中隐藏的特殊三角形 f 图形 60o … 图1 图2 图3 图4 91 一战成名·云南数学 续表 ①如图1，∠1=∠2，∠2+∠3=90° ①如图3，AB为⊙0上任意一条弦（不是 可转化到直角三角形中求解； 直径)，△AOB是等腰三角形； 结论 ②如图2，一边为直径的三角形+45 ②如图4，出现60°或OC=CD或OD= 可得等腰直角三角形，图中有3个 CD,则可得△COD是等边三角形 等腰直角三角形 5.圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角 如图5，∠B+∠ADC= 图5 图6 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和它相邻的内角的对角），如图5， ∠ADE= (3)连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，如图6，△ADF∽ △ABF