2023年中考数学总复习第十二讲“倍长中线”解决全等问题压轴题专题 讲义

第十二讲 “倍长中线”解决全等问题(压轴题专题讲义) 1、 内容提要 题型1:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半(三角形三边关系) 题型2:倍长中线后,证线段的倍数关系 题型3:倍长中线后,利用相似三角形的性质证线段的倍数关系 题型4:中点模型 2、 知识点拓展详解 题型1:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半(三角形三边关系) 小结:涉及三角形中线的问题,我们一般可采用倍中线法,把分居中线两旁的两条线和两个角综合到一个三角形中加以解决. 题型2:倍长中线后,证线段的倍数关系 小结:有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后,还需要再证一次全等三角形,既“二次全等”. 在证二次全等时,难点通常会体现在倒角上,常见的倒角的方法有: (1)“8”字型; (2)平行线型; (3)180°(平角、三角形内角和); (4)360°(周角、四边形内角和); (5)小旗子(三角形外角和); (6)90°(互余角). 题型3:倍长中线后,利用相似三角形的性质证线段的倍数关系 小结:倍长中线后,根据全等三角形的对应关系,找到相似三角形,然后根据相似三角形的性质,最后根据线段的比例关系求出线段之间的数量关系. 题型4:中点模型 提到中点,我们需要想到关于中点的以下知识点:①三角形中线平分三角形面积,等分点等分面积;②等腰三角形“三线合一”的性质;③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点,今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型,我们简称“平中对模型”,即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型,与倍长中线法相通。 二、解题过程中常用的知识点 1、证明全等三角形的方法:SSS、SAS、AAS、ASA、HL 2、三角形的三边关系: (1)任意两边之和大于第三边; (2)任意两边之差小于第三边; 3、平行线的性质: (1)两直线平行,同位角相等; (2)两直线平行,内错角相等; (3)两直线平行,同旁内角互补; 【最新典型例题】 例题1.我们定义:如图1,在中,把点绕点顺时针旋转得到,把绕点逆时针旋转得到,连接.我们称△是的“旋补交差三角形”,连接、,我们将、所在直线的相交而成的角称之为 “旋补交差角”, 点到中点间的距离成为“旋转中距”.如图1,即为 “旋补交差角”, 即为 “旋补中距”. (1)若已知图1中的长度等于4,当,则 “旋补交差角” ,“旋补中距” 长度 ; (2)若图1中的度数发生改变,则 “旋补交差角”度数是否发生改变?请证明你的结论,并直接判断 “旋补中距”是否也发生改变; (3)已知图2中△是 “旋补交差三角形”, 的长度等于4,长度等于6,问是否存在最小值?如果存在,请求出具体的值,如果不存在,请说明理由. 【分析】(1)先证点,点,点共线,点,点,点共线,由“旋补交差角”的定义可求解,由“”可证△,可得,由直角三角形的性质可求的长; (2)由“”可证△,可得,可求,由“”可证△,可得,可求; (3)由(2)的结论可求,,由三边关系可求解. 解:(1)如图1, 把点绕点顺时针旋转得到,把绕点逆时针旋转得到, ,,, , ,,, 点,点,点共线,点,点,点共线, 、的交点与点重合, “旋补交差角” , ,,, △, , 点是的中点,, , 故答案为:,2; (2) “旋补交差角”度数不变, “旋补中距”长度不变,理由如下: 把点绕点顺时针旋转得到,把绕点逆时针旋转得到, ,,, , 在和△中, , △, , 点,点,点,点四点共圆, , 如图2,延长至,使,连接,, ,, 四边形是平行四边形, ,, , , 又,, △, , ; (3)存在最小值,最小值为1,理由如下: 如图3,取中点,连接,,, △是 “旋补交差三角形”, ,, 点是中点,, , 在中,, 当点在线段上时,有最小值为. 强化同步练习 一.选择题(共6小题) 1.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,AD是边BC上的中线,则AD长的取值范围是( ) A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 2.如图,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,则下列判断错误的是( ) A.四边形AEDF一定是平行四边形 B.若AD平分∠A,则四边形AEDF是正方形 C.若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形 D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形 3.在△ABC中,AB=3,AC=4,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,则AD的长的取值范围为( ) A.1<AD<7 B.2<AD<14 C.2.5<AD<5.5 D.5<AD<11 4.已知,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AC=5,AD=4,则AB的取值范围是( ) A.1<AB<9 B