2023年中考数学总复习第十一讲“一线三等角”解决全等相似问题压轴题专题 讲义

第十一讲 “一线三等角”解决全等相似问题(压轴题专题讲义) 内容提要 方式一:构造“一线三等角” 方式二:构造“母子型相似” 方式三:整体旋转法(*) 知识点拓展详解 方式一:构造“一线三等角” 1.45°角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等 2.30°角→构直角三角形→造“一线三直角”相似 3.Tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似 1. “一线三等角”的应用分为三重境界: 一重境:当一条线上已有三个等角时,只要识别、证明,直接应用模型解题。例:“同侧型一线三等角”(图1);“异侧型一线三等角”(图2) 二重境:当一条线上已有两个等角时,需要再补上一个等角,构造模型解题(图3) 三重境:当一条直线只有一个角时需要再补上两个等角,构造模型解题(图4) 方式二:构造“母子型相似” “角处理”,还可以在角的一边上某点处作水平或者竖直辅助线,构成“(水平或竖直)边对角”结构,然后在这条直线上补一个与此相等的角,构造出“母子型相似”,其核心结构如图: △DAC∽△DEA→DA²=DC·DE→DG²+AG²=DC·DE 方式三:整体旋转法(*) 前两种构造属于静态构造方式,再介绍一种动态构造方式,即整体旋转法。其核心思想是“图形的旋转(运动)本质是图形上的点旋转(运动);反过来,点的旋转(运动)可以看成该点所在图形的旋转(运动)” 【最新典型例题】 例题1.在中,,,直线经过点,且于,于. (1)当直线绕点旋转到图1的位置时,求证: ①; ②; (2)当直线绕点旋转到图2的位置时,求证:; (3)当直线绕点旋转到图3的位置时,试问、、具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明. 【思路点拨】(1)由,得,而于,于,则,根据等角的余角相等得到,易得,所以,,即可得到. (2)根据等角的余角相等得到,易得,得到,,所以. (3)、、具有的等量关系为:.证明的方法与(2)相同. 【解答】(1)证明:, , 而于,于, ,, . 在和中,, , ,, ; (2)证明:在和中,, , ,, ; (3). 易证得, ,, . 强化同步练习 一.选择题(共8小题) 1.如图,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D.AB=2,DE=4,BD=6.点C为BD上一点,连接AC、CE.当BC=( )时,可使AC⊥CE. A.3 B.2或4 C. D.2或3 2.如图,在边长为4的等边△ABC中,点D是AB边上一个动点,沿过点D的直线折叠∠A,使点A落在BC边上的点F处,折痕交AC于点E,当BF=1,AE=时,则AD的长是( ) A. B. C.2 D. 3.如图,点A,B,C在同一直线上,∠A=∠DBE=∠C,则下列结论:①∠D=∠CBE,②△ABD∽△CEB,③=,其中正确的结论有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,,E为CD边上一点,将△BCE沿BE折叠,使得C落到矩形内点F的位置,连接AF,若,则CE=( ) A. B. C. D. 5.如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC上一点,过点E作EF⊥AE,交BC于点F,连接AF,则AF的最小值是( ) A.5 B. C. D.3 6.如图,平面直角坐标系中,A(4,0),点B为y轴上一点,连接AB,tan∠BAO=2,点C,D为OB,AB的中点,点E为射线CD上一个动点.当△AEB为直角三角形时,点E的坐标为( ) A.(4,4)或(2+2,4) B.(4,4)或(2﹣2,4) C.(12,4)或(2+2,4) D.(12,4)或(2﹣2,4) 7.如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合),且∠APD=45°,PD交AB于点D.设BP=x,BD=y,则y关于x的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=45°,DE交AC于点E,下列结论:①△ADE与△ACD一定相似;②△ABD与△DCE一定相似;③当AD=3时,CE=;④0<CE≤2.其中正确的结论有几个?( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二.填空题(共4小题) 9.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=9,BP=BC=2,D在AC上,且∠APD=∠B,则CD= . 10.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,∠ADE=60°,若,则AD的长度为 . 11.如图,点E是矩形ABCD边BC上一点,沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点F处.设=x(x>1), (1)若点F恰为CD边的中点,则x= . (2)设=y,则y关于x的函数表达式是 . 12.如图,E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、A