2023年中考数学总复习：二次函数系数问题专题讲义

第三讲 二次函数系数问题(压轴题专题讲义) 【知识点拓展】 1、二次函数图象的特征与a,b,c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 为y轴 ab>0(a与b同号) 在y轴左侧 ab<0(a与b异号) 在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2–4ac>0 与x轴有两个交点 b2–4ac<0 与x轴没有交点 2、常用公式及方法: 1. 二次函数三种表达式: 表达式 顶点坐标 一般式 顶点式 交点式 1. 韦达定理:若二次函数图象与x轴有两个交点且交点坐标为(,0)和(,0),则,。 1. 赋值法:在二次函数中,令,则;令,则;令,则;令,则;利用图象上对应点的位置来判断含有、、的关系式的正确性。 【教你解题】 最新典型例题1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①abc>0; ②(a+c)2>b2; ③4ac-b2<0; ④1<2b; ⑤m(am+b)<a+b(m≠1). 其中正确的结论有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 【思路点拨】由抛物线开口方向判断a的符号,由抛物线的与y轴的交点判断c的符号,然后根据及抛物线与x轴的交点情况进行推理,进而对所给结论进行判断. 【归纳总结】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:①a由抛物线开口方向确定,开口方向向上,则a>0;否则a<0;②b由和a的符号确定,由公式判断符号;③c由抛物线与y轴的交点确定,交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;④b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定,2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0. 【强化提高】1.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a<0)经过点(3,0),为直线x=1.下列四个结论: ①点P1(﹣2021,y1),P2(2022,y2)在抛物线上,则y1<y2; ②2a+c<0; ③关于x的方程ax2+bx+c=p的两个实数根为x1,x2(x2<x1),若p>0,则x1<3且x2>﹣1; ④a(1﹣t2)≥b(t﹣1)(t为常数). 其中正确的是 (填写序号). 最新典型例题2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)所对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根均大于﹣1,则下列结论正确的有 (填序号). ①x=﹣1时,y>0; ②若c<0,a>0,则两实数根x1,x2满足x1x2<0; ③若b=2,c=,则<a<4或a<0; ④若a>0,b=2﹣a,x1<x2,则x2<2. 【分析】①分两种情况,再根据“一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根均大于﹣1”即可判断当x=﹣1时,y的值;②根据根与系数的关系可得即可判断;③由题意可知,b2﹣4ac>0,再将b=2,c=代入可得a<4,设﹣1<x1<x2,则x1+x2>﹣2,根据根与系数的关系得,解得a<0或a>1,以此即可判断;④根据根与系数的关系可得<1,以此即可判断. 【归纳总结】跟与系数的关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两根时,,,这个是常考的. 【强化提高】 2.已知二次函数y=x2﹣(2m﹣2)x+m2﹣2m﹣3,其图象记为M.下列四个结论:①若x>﹣3时,y随x的增大而增大,则m≤﹣2;②M与y轴的交点在直线y=﹣3的上方;③随着m的变化,M恒沿一条定直线平移;④若关于x的方程x2﹣(2m﹣2)x+m2﹣2m﹣3=0有一实数根x1满足0<x1<2,则﹣1<m<1.其中正确结论的序号是 . 提高同步练习 (满分120分,时间:120分钟) 一.选择题(共10小题,满分50分,每小题4分) 1.(4分)下列各式中,y是关于x的二次函数的是( ) A.y=4x+2 B.y=ax2+1 C.y=3x2+5﹣4x D.y= 2.(4分)如果直线y=ax+3经过第一、二、三象限,那么抛物线y=ax2的开口方向是( ) A.向上 B.向左 C.向下 D.向右 3.(4分)关于二次函数y=﹣x2+2x﹣3的图象和性质的叙述中,正确的是( ) A.在y轴左侧 B.顶点坐标(0,﹣3) C.x<0时,y随x的增大而增大 D.与直线y=6x﹣7有唯一公共点 4.(4分)如表记录了二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)中两个变量x与y的5组对应值,其中x1<x2<1, x … ﹣5 x1 x2 1 3 … y … m 0 2 0 m … 根据表中信息,当时,直线y=k与该二次函数图象有两个公共点,则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.(4分)已知函数y=ax2+bx+c的图象如