2023年中考数学拔高训练——二次函数图象与一元二次方程的应用

2023年中考数学拔高训练——二次函数图象与一元二次方程的应用 一、综合题 1．如果关于 的一元二次方程 （ ）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，方程 的两个根是2和4，则方程 就是“倍根方程”. （1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则 　 　； （2）若 （ ）是“倍根方程”，求代数式 的值； （3）若方程 （ ）是倍根方程，且相异两点 ， ，都在抛物线 上，求一元二次方程 （ ）的根. 2．已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）． （1）证明：该抛物线与x轴总有交点； （2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况． 3．如图，已知抛物线y=x2＋2x-3，与x轴的两个交点分别是A，B（A在B的左侧）． （1）求A，B的坐标； （2）利用函数图象，求当y<5时x的取值范围． 4．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整. （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中，m＝　 　. （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分. （3）观察函数图象，写出两条函数的性质. （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有　 　个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　 　. 5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y=ax2+bx+c … t m -2 -2 n … 根据以上列表，回答下列问题： （1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴； （2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根； （3）若m=-1，求此二次函数的解析式． 6．已知函数y1=(x+m)(x-m-1)，y2=ax+m(a≠0)在同一平面直角坐标系中． （1）若y1经过点(1，-2)，求y1的函数表达式． （2）若y2经过点(1，m+1)，判断y1与y2图象交点的个数，说明理由． （3）若y经过点( ，0)，且对任意x，都有y1>y2，请利用图象求a的取值范围 7．以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 . Ⅰ.在 中， ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米） 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 Ⅱ.根据学习函数的经验，选取上表中 和 的数据进行分析； 设 ，以 为坐标，在图 所示的坐标系中描出对应的点； 连线； Ⅲ.观察思考 结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当 ▲ 时，y最大； Ⅳ.进一步C猜想：若 中， ，斜边 为常数， ），则 ▲ 时， 最大. 推理证明 Ⅴ.对（4）中的猜想进行证明. （1）问题1.在图 中完善（1）的描点过程，并依次连线； （2）问题2.补全观察思考中的两个猜想：Ⅲ　 　；Ⅳ　 　。 （3）问题3.证明上述Ⅴ中的猜想： （4）问题4.图 中折线 是一个感光元件的截面设计草图，其中点 间的距离是4厘米， 厘米， 平行光线从 区域射入， 线段 为感光区城，当 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值. 8．小军根据学习函数的经验，对函数 的图像与性质进行探究．下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请解答下列问题： -2 0 1 2 3 4 2 4 2 n （1）求该函数的解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）表中m的值为　 　，n的值为　 　． （3）