习题1.4（教材课后习题课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

八（下）数学教材习题 习题 1.4 北 师 版 已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 1. 证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°. ∴∠A=∠ADE=∠AED=60°. ∴△ADE是等边三角形. 知识技能 房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，求BC，DE的长. 2. 解：∵BC⊥AC， ∴∠ACB=90°． 在Rt△ACB中，∠A=30°， ∴BC= AB= ×7.4=3.7 (m)． 知识技能 ∵D为AB的中点， ∴AD= AB= ×7.4=3.7 (m)． ∵DE⊥AC，∴∠AED=90°． 在Rt△AED中， ∵∠A=30°， ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m). ∴BC的长为3.7 m，DE的长为1.85 m. 知识技能 解：①△DEF是等边三角形． 证明如下：∵△ABC是等边三角形， (1)如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点吗？ 请证明你的结论. 3. 联系拓广 ∴∠ABC=60°. ∵BC∥EF， ∴∠EAB=∠ABC=60°． 又∵AB∥DF， ∴∠F=∠EAB=60°. 同理可证∠E=∠D=60°． ∴△DEF是等边三角形． 联系拓广 ②△ABE，△ACF，△BCD也都是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点. 证明：∵EF∥BC， ∴∠EAB=∠ABC，∠FAC=∠ACB. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠EAB=∠FAC=60°. 联系拓广 同理可证∠EBA=∠DBC=60°，∠FCA=∠DCB=60°. ∴∠E=∠F=∠D=60°. ∴△ABE，△ACF，△BCD都是等边三角形． 又∵AB=BC=AC， ∴AE=AF=BE=BD=CF=CD， 点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点. 联系拓广 解：△ABC是等边三角形． 证明如下：∵点A，B，C分别是EF，ED， FD的中点， ∴EF=2AE=2AF，ED=2BE=2BD，FD=2CF=2CD． (2)如果△DEF是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，那么△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论. 联系拓广 又∵△DEF是等边三角形， ∴∠E=∠F=∠D=60°，EF=ED=FD . ∴AE=AF=BE=BD=CF=CD. ∴△ABE，△BCD，△ACF都是等边 三角形(有一个角等于60°的等腰三角 形是等边三角形)， ∴ AB=AE，BC=BD，AC=AF. ∴AB=BC=AC. ∴△ABC是等边三角形． 联系拓广 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. 4. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， BC= AB． 求证：∠BAC=30°. 证明：延长BC至点D，使CD=BC， 连接AD. 联系拓广 ∵∠BCA=90°， ∴∠DCA=90°. 又∵BC=DC，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)， ∴AB=AD，∠BAC=∠DAC (全等三角 形的对应边相等、对应角相等)． 联系拓广 又∵BC= AB， ∴ BD=AB=AD， ∴△ABD为等边三角形． ∴∠BAD= 60°. 又∵∠BAC=∠DAC， ∴∠BAC=30°. 联系拓广 如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上(如图中的点A′)，折痕交AB于点G，那么∠ADG等于多少度？你能证明你的结论吗？(提示：利用第4题的结论) 5. 解：∠ADG=15°. 证明如下： ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC，AB=CD，∠C=90°. 联系拓广 由翻折的性质可知A'D=AD，∠ADG=∠A'DG. 在Rt△A'CD中，A'D=AD=2AB=2CD，利用第4题的结论可得∠DA'C=30°. ∵AD∥BC，∴∠A'DA=∠DA'C=30°. ∴∠ADG=∠A'DG= ∠A'DA=15°. 联系拓广 $