2023年中考数学二轮专题复习：几何变换压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何变换压轴题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． (1)如图1，当点P在线段BC上时，连结OQ，则△OPQ是 三角形；△COP≌△ ；线段BQ与CP的数量关系为 ；∠PBQ的度数 为 (请直接写出) (2)当点P在CB延长线上时（如图2）和BC延长线上时（如图3），（1）中的线段BQ与CP的数量关系是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（图2、图3选择一种情况写出证明过程即可） (3)如图2，若∠BPO＝15°，则BQ与BP的数量关系为 ； (4)如图3，若∠BPO＝15°，AB＝，则PQ的长为 . 2．新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 (1)①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ； ②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ； 【猜想论证】 (2)在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形） 【拓展应用】 (3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长． 3．如图，在等腰直角三角形中，，E是线段上一动点，过点E作垂直于点F，延长交延长线于点D，连接． (1)如图1，若，求线段的长； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，若，将沿直线翻折得到三角形，将点C沿射线方向平移个单位长度后，再以点A为中心旋转得到点，连接，请直接写出当最大时，的面积． 4．△ABC中，∠BAC=90°，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF=OD，连接CF，EF，令． (1)①如图1，若，填空：______；△ECF是______三角形 ②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出的值． 5．如图，在Rt△ABC中，，，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转，得到线段PQ，连接BQ． (1)如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系； (2)如图2，当点P在CB长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，当点P在BC延长线上时，若，，请直接写出BQ的长． 6．感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需要证明； (1)探究：如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)应用：如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接； ①探究线段、、之间的数量关系． ②若，，求线段的长． 7．如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段CF的中点，连接PD，PG． (1)若，请直接写出的度数及的值______． (2)若，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明． (3)若，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值． 8．如图1，在矩形ABCD中，，，把AB绕点B顺时针旋转得到，连接，过B点作于E点，交矩形ABCD边于F点． (1)求的最小值； (2)若A点所经过的路径长为，求点到直线AD的距离； (3)如图2，若，求的值； (4)当的度数取最大值时，直接写出CF的长． 9．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上， 将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．     (1)如图 1，当