2023年中考数学二轮专题复习：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 1．如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求该二次函数的解析式； (2)设M为该抛物线上直线BC下方一点，过点M作x轴的垂线，交线段BC于点N，线段MN是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由； (3)连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的横坐标． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求CP+PQ+QB的最小值； (3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点． (1)求，的值； (2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．抛物线过点，点，顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F： ①求证： ②的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由． 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A，点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点，连接AD交BC于点E，若AE＝2ED，求点D的坐标； (3)直线y＝kx﹣2k+1与抛物线交于M，N两点，取点P（2，0），连接PM，PN，求△PMN面积的最小值． 6．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点 (1)求抛物线解析式及A点坐标； (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点在内，求m的取值范围； (3)点P为抛物线上一个动点，若，直接写出点P的坐标． 7．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B． (1)求二次函数的表达式和顶点D的坐标； (2)如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积； (3)如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围； (4)如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式与点P的坐标； (2)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值； (3)连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上， ①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由； ②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （图（2）、图（3）供画图探究） 9．如图，已知抛物线的顶点为A，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC； (3)若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，点，，连接并将线段绕点B顺时针旋转，点A转到点C处．一抛物线经过C、B两点，与x轴交于另一点． (1)求点C的坐标和抛物线的解析式． (2)在上方抛物线上是否存在一点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出P的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． (3)连接， ①求证：； ②直线上是否存在一点M，使得与相似？若存在，求出点M