11.1余弦定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

11.1余弦定理 引子 1.我们学过三角形的边角关系有哪些？ 2.三角形的边和角，需要知道哪些量可以明确一个三角形？ 思考 某地的高铁路线规划要经过一座小山丘,故需要挖隧道.这就需要测量出隧道的长度,而隧道的长度在隧道没打通时是没有办法直接测量的,那怎样才能知道隧道的长度呢? 问题:如图,你能说出要测量出隧道BC的长度至少需要知道哪些量吗? Q1:在▲ABC中，AB=5,AC=1,A=60°，求BC长? Q2:在▲ABC中，AB=c,AC=b,∠A=，求BC长？ Q1:在▲ABC中，AB=5,AC=1,A=60°，求BC长? Q2:在▲ABC中，AB=c,AC=b,∠A=，求BC长？ A C B Q1:在▲ABC中，AB=5,AC=1,A=60°，求BC长? Q2:在▲ABC中，AB=c,AC=b,∠A=，求BC长？(锐角） Q3:在▲ABC中，AB=c,AC=b,∠A=，求BC长？(钝角） Q4:在▲ABC中，AB=c,AC=b,∠A=，求BC长？(直角） A C B D 方法2：向量坐标法 方法3：向量法（课本） 1.余弦定理 (1)文字描述:三角形任何一边的①_______,等于其他两边的②_______减去这两边 与它们③_______余弦的积的④________, 平方 平方和 夹角 2倍 (2)公式表达:a2=_____________; b2=____________; c2=____________. b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 余弦定理的内容（背诵公式） 适用范围：任何三角形 结构特点：轮换对称：平方，夹角，余弦 作用：解三角形，边角互化 知两边和夹角，求第三边 特别地： c2=____________. 当，即，（勾股定理） a2+b2-2abcos C 结论：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 思考:利用余弦定理只能解决哪类问题呢? 思考:利用余弦定理只能解决哪类问题呢? ①已知三边,求三角. ②已知两边和它们的夹角,求第三边和另两个角. 余弦定理的变形（记忆） cos A= ; cos B= ; cos C= . 知三边，求三角 解三角形的概念 把三角形的三边和三角叫做三角形的元素， 已知三角形的几个元素求出其他元素的过程叫做：解三角形 利用余弦定理解三角形 例1：解三角形 （1）已知b=3，c=1，A=60°，求a （变式1）已知b=3， c=1，A=60°，解三角形 利用余弦定理解三角形 例1：解三角形 （2）已知a=7，b=5，c=3，求A （变式2）已知a=7，b=5，c=3，解三角形 思考：用余弦定理解三角形，结果是唯一吗？ 思考：用余弦定理解三角形，结果是唯一吗？ 唯一。 （1）已知三边：求得cos值在中唯一确定； （2）已知两边和夹角，可直接求的唯一的第三边，然后就已知三边，而后同（1）。 思考 某地的高铁路线规划要经过一座小山丘,故需要挖隧道.这就需要测量出隧道的长度,而隧道的长度在隧道没打通时是没有办法直接测量的,那怎样才能知道隧道的长度呢? 现在已知AB=7km，AC=4km,A=60°求BC （练习1（2）数据） 怎样用余弦定理判定三角形形状？ 例3：用余弦定理证明：在▲ABC中，当C为锐角时：；当C为锐角时： 怎样用余弦定理判定三角形形状？ 结论： 1.根据cos值的正负判定，cos A= ;分母为正，cos正负只由分子的正负决定。（判定是谁就减谁） 2.不能求出一个锐角就判定三角形是锐角三角形，求出一个钝角就能直接判定是钝角三角形。 练习 1.已知在△ABC中,a=,c=2,A=60°,则b=　　　    . 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a2+c2+ac,且sin A+sin C=1,则 △ABC是 (　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.最大角为锐角的等腰三角形 D.最大角为钝角的等腰三角形 1. 解析　因为a2=b2+c2-2bccos A, 所以7=b2+4-2b, 解得b=3或b=-1(舍去). 2.解析　因为b2=a2+c2+ac, 所以cos B= =- ,所以B= , 所以sin A+sin C=sin A+sin =sin A+ cos A- sin A=sin =1. 又0<A< ,所以A=C= ,则△ABC是最大角为钝角的等腰三角形.故选D. $