专题11 二次函数【力争分】-2023年中考数学必考题型规律分析与趋势预测（天津专用）

专题11 二次函数【力争分】 一、规律分析 “二次函数”通常出现在天津中考数学选择题部分第12题和解答题部分第25题，主要涵盖以下几个考点： 1．二次函数的图象与性质； 2．二次函数图象与系数的关系； 3．二次函数中线段和的最小值问题。 二、考点详解 1．二次函数的图象与性质 关系式 一般式y＝ax2+bx+c（a≠0） 顶点式（a≠0） 开口方向 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。 顶点坐标 （，） （h，k） 对称轴 直线x＝ 直线x＝h 增减性 a＞0 x＜时，y随x增大而减小； x＞时，y随x增大而增大。 x＜h时，y随x增大而减小； x＞h时，y随x增大而增大。 a＜0 x＜时，y随x增大而增大； x＞时，y随x增大而增大。 x＜h时，y随x增大而增大； x＞h时，y随x增大而减小。 最值 a＞0 当x＝时，。 当x＝h时，。 a＜0 当x＝时，。 当x＝h时，。 2．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向及大小 ①a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下。 ②|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 （2）a、b共同决定抛物线对称轴的位置 ①当b＝0时，对称轴x＝＝0，对称轴为y轴。 ②当a、b同号时，对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左侧。 ③当a、b异号时，对称轴x＝＞0，对称轴在y轴右侧。 （3）c决定抛物线与y轴的交点位置 ①当c＝0时，抛物线过原点。 ②当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴。 ③当c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。 （4）决定抛物线与x轴的交点位置 ①当＝0时，抛物线与x轴有唯一交点。 ②当＞0时，抛物线与x轴有两个交点。 ③当＜0时，抛物线与x轴没有交点。 （5）特殊值 ①当x=1时，y=a+b+c；当x=﹣1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=﹣2时，y=4a-2b+c。 ②当对称轴为直线x=1时，2a+b=0；当对称轴为直线x=﹣1时，2a﹣b=0。 3．二次函数中线段和的最小值问题 在二次函数中求线段和最小值时，可以把一条线段转换成与它对称的线段，从而利用两点之间线段最短求出线段和的最小值。 （1）两条线段之和的最小值。 （2）三条线段之和的最小值。 三、真题在线 1．（2022•天津中考•第12题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论： ①2a+b＜0； ②当x＞1时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2021•天津中考•第12题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论： ①abc＞0； ②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根； ③a+b+c＞7． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2020•天津中考•第12题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x．有下列结论： ①abc＞0； ②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根； ③a． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2022•天津中考•第25题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B． （Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3， ①求点P的坐标； ②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标； （Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标． 5．（2021•天津中考•第25题）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D． （Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标． 6．（2020•天津中考•第25题）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点． （Ⅰ）当a＝