大题强化训练（7）-2023届高三数学高考复习大题强化训练（新高考地区专用）

2023届大题强化训练(7) 1.已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 2.条件①， 条件②， 条件③． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________， （1）求； （2）若是的角平分线，且，求的最小值． 3.如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面平面． （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 4.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望. 5.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆只有一个公共点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距. 6.已知函数，，其中a为实数. （1）若函数，的图象在处的切线重合，求a的值； （2）若，设函数的极值点为.求证：①函数有两个零点，（）；②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届大题强化训练(7) 1.已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，则 所以，解得，所以. （2）， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 2.条件①， 条件②， 条件③． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________， （1）求； （2）若是的角平分线，且，求的最小值． 【答案】（1）条件选择见解析， （2） 【解析】（1）选①：因为，由正弦定理可得， 即， 所以， 而，，故，因为，所以； 选②：因为，由正弦定理， 即，由余弦定理， 因为，所以； 选③：因为， 正弦定理及三角形内角和定理可得， 即， 因为、，则，所以，，， 所以，所以，即. （2）由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 3.如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面平面． （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】（1）设，分别是，的中点，连接，，，则， 是等边三角形，， 又根据题意可得：平面平面，且交线为，又平面， 平面，又平面， ．又根据正三棱柱的性质可知：平面， 平面，，平面， ，， 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设， 则， ， 设平面，平面的法向量分别为， 所以取，则， 取，则， 所以，故，所以平面平面． （2）设平面的法向量分别为,则，取，则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 4.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】（1）记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表 示“第局乙获胜”，则，. 则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立. 由概率加法公式和乘法公式，有 ． （2）的可能取值为， ， ， ． 故的分布列为 2 3 4 5 所以. 5.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆只有一个公共点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）依题意，直线的方程为，即， 由，消去得. 由于直线与椭圆只有一个公共点，故， 即， 因为在椭圆上，所以， 即，整理得， 解得， 故椭圆的标准方程：. （2）方法一：依题意直线斜率不为0， 可设直线为，则， 联立椭圆方程，可得 ， 由韦达定理得， 进而，有 由直线的方程为，得 直线AC在轴上的截距为 故直线在轴的上截距为. 方法二：设，则，则直线的方程为 ， 则直线在轴的截距为， 若垂直于轴， 则， 所以直线与轴交点为，截距为. 若不垂直于轴，设直线的方程为. 与椭圆方程联立，得， 由韦达定理有. 直线在轴的截距为 又因为 所以 所以， 所以 所以 故直线在轴上的截距为. 方法三：右焦点为，直线与轴相交于