2023年九年级中考数学高频考点专题训练--圆的综合题

2023年中考数学高频考点专题训练--圆的综合题 1．已知：△ABC内接于⊙O，直径AM平分∠BAC． （1）如图1，求证AB＝AC； （2）如图2，弦FG分别交AB、AC于点D、E，AE＝BD，当∠ADE+∠DEC＝90°时，连接CD，直径AM分别交DE、CD、BC于N、H、R，若CD⊥AB，求证：∠NDC＝∠ACB； （3）在（2）的条件下，若DE长为 ，求△ACH的面积． 2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使∠PQC＝90°，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称Rt△PCQ为其对应的“联络三角形”． 如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例． （1）已知点A（4，0），B（4，4） ①在点Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，点O关于点A的“直角联络点”是　 　； ②点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围　 　； （2）⊙T的圆心为（t，0），半径为 ，直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在⊙T上存在一点P，使得点P关于⊙T的一个“直角联络点”在线段HK上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围． 3．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得PM = MC，则称点P为⊙C的“等径点”．已知点D ，E ，F ． （1）当⊙O的半径为1时， ①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是　 　； ②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围． （2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG上的所有点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围． 4．问题背景： 如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，从而得出结论：AC+BC= CD． 简单应用： （1）在图①中，若AC= ，BC=2 ，则CD=　 　． （2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上， = ，若AB=13，BC=12，求CD的长． 拓展规律： （3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示） （4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是　 　． 5．如图，等边三角形ABC中，AB= ，AH⊥BC于点H，过点B作BD⊥AB交线段AH的延长线于点D，连结CD. 点E为线段AD上一点(不与点A，D重合)，过点E作EF∥AB交BC于点F，以EF为直径作⊙O. 设AE的长为 . （1）求线段CD的长度. （2）当点E在线段AH上时，用含x的代数式表示EF的长度. （3）当⊙O与四边形ABDC的一边所在直线相切时，求所有满足条件的 的值. 6．如图1， 是 的外接圆， 是直径， 是 外一点且满足 ，连接 . （1）求证：CD是 的切线； （2）若 ， ， ，求AC的长； （3）如图2，当 时，AD与 交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明. 7．问题探究 （1）如图1，在△ABC中，