精品解析：河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高二下学期期中模拟考试数学理科试题

南阳一中2022年春期高二期中模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 的导数是（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知，则的值 A. 都大于1 B. 都小于1 C. 至多有一个不小于1 D. 至少有一个不小于1 4. 有如下的演绎推理:“因为对数函数当时在上是增函数;已知是对数函数,所以在上是增函数”的结论是错误的,错误的原因是 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 大小前提都错误 D. 推理形式错误 5. （ ） A. B. C. D. 6. 在平面几何里，有勾股定理：“设的两边，互相垂直，则有“，扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则可得（ ） A. B. C. D. 7. 用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中，已经假设时不等式成立，推理成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明( ) A. B. C. D. 8. 已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 给出定义：设是函数导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ） A. 在直线上 B. 在直线上 C. 在直线上 D. 在直线上 10. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 若函数有三个极值点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设复数z，满足，，，则____________． 14. 设是公比为q的等比数列的前n项积，则数列，，是等比数列且其公比的值是通过类比推理，可以得到结论：设是公差为d的等差数列的前n项和，则数列，，是等差数列，且其公差为__________． 15. 已知函数，则关于x的不等式的解集为__________． 16. 一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 17 已知复数，，. （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 18. 用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）证明：曲线上任一点处切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 20. （1）已知，，，求证：. （2）用分析法证明：对于任意时，有. 21. 一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）． （1）求关于的函数表达式； （2）求值，使体积最大； 22. 设函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2022年春期高二期中模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，即可判断； 【详解】解：因为，，，，所以， 所以 所以复数的虚部为； 故选：A 2. 的导数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算公式，直接计算即可 【详解】，常数的导数为0，所以， 故选：D 3. 已知，则的值 A. 都大于1 B. 都小于1 C. 至多有一个不小于1 D. 至少有一个不小于1 【答案】D 【解析】 【分析】先假设，这样可以排除A，B.再令，排除C.用反证法证明选项D是正确的. 【详解】解:令，则，排除A，B. 令，则，排除C. 对于D，假设，则， 相加得，矛盾，故选D. 【点睛】本题考查了反证法应用，应用特例排除法是解题的关键.