2023年九年级中考数学高频考点专题训练-- 三角形的内切圆与圆心

2023年中考数学高频考点专题训练-- 三角形的内切圆与圆心 1．定义：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心； 性质：内心到三角形三边的距离相等. 如图1，点 为 的内心， 于 ， 于E， 于 ，则有 . 问题：如何求 的值呢？ 探究： （1）小明思路：设△ABC的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，利用 可求 . ①图1中， ， ， ， ，请你根据小明的思路求出 的值； ②如图2，△ABC中， ，设 ， ， ， 为 △ABC的内心， 于 ， 于E， 于 .若设 ，请用含 ， ， 的式子表示 　 　； （2）小亮思路：“凡角平分处，必有轴对称”. 如图2，易得： ， ， . 请你根据小亮的思路，用含 ， ， 的式子表示 　 　； （3）①根据上述所列两式，求证： ； ②应用：已知一个直角三角形的两直角边长分别为 和 ，求该三角形的内心到任意一边的距离 . 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD DF，连接CF、BE． （1）求证：DB DE； （2）求证：直线CF为⊙O的切线； （3）若CF 4，求图中阴影部分的面积. 3．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC=∠ABC. （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若D为AB的中点，CD=3，AB=8. ①求⊙O的半径；②求△ABC的内心I到点O的距离. 4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O与△ABC的三边分别切于点D，E，F． （1）连接AO、BO，求∠AOB的度数； （2）连接BD，若tan∠DBC= ，求tan∠ABD的值． 5．如图， 是 的外接圆，点E是 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 于点D，连接BD，BE. （1）求证： ； （2）若 ， ，求DB的长. 6．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 ， ， 为三角形三边， 为面积，则 ① 这是中国古代数学的瑰宝之一. 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 （周长的一半），则 ② （1）尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ； （3）问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， 的内切圆半径为 ，三角形三边长为 ， ， ，仍记 ， 为三角形面积，则 . 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E. （1）求证：⊙P与直线AC相切. （2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径. 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，I是△ADC的内心，∠ADB=45°． （1）求⊙O半径的长； （2）求证：BC＝BI． 9．阅读以下材料，并按要求完成相应地任务： 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 . 如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN. ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， ∴△MDI∽△ANI， ∴ ， ∴①， 如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF， ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°， ∵⊙I