专题：巧解平行线中的拐点问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(人教版)

七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》 专题 巧解平行线中的拐点问题 题型一 过一个拐点作平行线求角度 【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　） A．55° B．75° C．80° D．105° 解题技巧提炼 当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，遇到一个拐点时，只需过折线的“拐点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题. 【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　 　度． 【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．360° B．300° C．270° D．180° 【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 　 　，根据这个思路可得∠AEC＝　 　． 【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数． 【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数． 【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题： 下面提供三种思路： 思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））； 思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N； 思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N． 解答下列问题： （1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 　 　； （2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线； （3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程． 题型二 过多个拐点作平行线求角度 【例题2】如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2等于（　　） A．40° B．35° C．36° D．30° 解题技巧提炼 题型一中的题平行线间有个一折点，只需过折点处作一条辅助平行线即可，若有个多个折点，则需要过每一个折点作辅助平行线，再利用平行线的判定和性质解决问题即可. 【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（　　） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是　 　． 【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝　 　°． 【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　 　； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　 　．（用含n的式子表示） 【变式2-5】（1）填空： 如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝　 　°． 如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝　 　°． 如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝　 　°． 如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝　 　°． （2）归纳：如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝　 　°． （3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数． 题型三 过拐点作平行线的证明题 【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究： （1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程； （2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由； （3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之