专题02 巧解平行线中的折线问题-【高效导学】2021-2022学年七年级数学下学期重难点专题多维突破精讲精练（人教版）

人教版七年级数学下册《第五章相交线》复习专题训练 专题训练二：巧解平行线中的折线问题 专题概述 ★★当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，因此需过折线的“转折点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题. 灵活利用相交线、平行线中的基本图形和结论解决平行线中的折线问题，培养学生作平行线的思想. 类型一：过拐点作平行线求角度 ◎【典例一】◎如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数． 【考点】平行线的性质； 【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可． 【解答】解：如图：过点C作CF∥AB， ∵CF∥AB ∴∠3＝∠1＝25° ∵AB∥DE， ∴DF∥CE， ∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°， ∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°． ■【变式1】如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　） A．180° B．360° C．270° D．540° 【考点】平行线的性质； 【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值． 【解答】解：过点P作PA∥a， ∵a∥b，PA∥a， ∴a∥b∥PA， ∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°， ∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°． 故选：B． ■【变式2】如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（　　 ） A．30° B．35° C．36° D．40° 【考点】平行线的性质； 【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1， ∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解． 【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线， ∴∠3＝∠1，∠4＝∠2， ∵l1∥l2， ∴AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD＝180°， ∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°， ∴∠1+∠2＝30°． 故选：A． ■【变式3】如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝115°．求∠BFD的度数． 【考点】平行线的性质； 【分析】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠CDE=115°， 再根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得出∠BFD的度数. 【解答】解:如图，过E作EG∥AB，过F作FH∥AB， ∵AB∥CD, ∴EG∥CD，FH∥CD ∴∠ABE=∠GEB，∠CDE∠GED ∴∠BED=∠ABE+∠CDE=115° 又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE, ∴∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=57.5°， ∵AB∥FH∥CD ∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH, ∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF=57.5°. 故选C. ●方法归纳●以上的题中平行线间有个一折点，只需过折点处作一条辅助平行线即可，若有个多个折点，则需要过每一个折点作辅助平行线. 类型二：过拐点作平行线证明题 ◎【典例二】◎如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明． 图（1）结论： ； 图（2）结论： ； 图（3）结论： ； 图（4）结论： ； 你准备证明的是图 ，请在下面写出完整的证明过程． 【分析】图（1）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案； 图（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案； 图（3）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，即可求得答案； 图（4）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，即可求得答案． 【解答】解：图（1）∠APC+∠A+∠C=360°； 图（2）∠APC=∠A+∠C； 图（3）∠APC=∠A﹣∠C； 图（4）∠APC