2023年九年级中考数学高频考点专题强化-特殊三角形问题（二次函数综合）

2023年中考数学高频考点专题强化-特殊三角形问题（二次函数综合） 1．（2021·四川巴中·统考中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 3．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标． 4．（2021·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，与交于点E，与抛物线交于点F． ①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标； ②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由． 6．（2022秋·福建泉州·九年级校考期末）已知抛物线的顶点为A，点M（m，n）为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），MC交y轴于D点，连接BC． (1)当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值； (2)当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点； (3)若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式． 7．（2022秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，顶点为，对称轴l与x轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)点M在抛物线上，过点M作对称轴l的垂线，垂足为点E，点F在l上，若以M、E、F为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的所有点M的坐标． 8．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）综合与探究 如图，抛物线经过，，三点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线和直线的函数解析式． (2)D是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2022秋·湖北·九年级期末）已知二次函数图象顶点A（2，－3），且过B（3，1）， (1)求该二次函数解析式； (2)P为该抛物线对称轴上一点，且△ABP为等腰三角形，直接写出P点的所有可能坐标． 10．（2022秋·重庆渝中·九年级统考期末）抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； (3)过点作于点，， ①求点的坐标； ②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （b，c是常数）经过点，点 ，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线对称轴上一动点，当是以 为底边的等腰三角形时，求点P的坐