第2部分 专题2 二次函数综合题（精练册）-【一战成名】2023陕西中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·陕西数学 专 题 二 二 次 函 数 综 合 题 专题二　二次函数综合题 类型 １　与图形面积有关 １．（２０２２内江节选）抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ 轴交于Ａ（－４，０），Ｂ（２，０），与 ｙ轴交于点 Ｃ（０，２）． （１）求抛物线的表达式； （２）点Ｐ为抛物线上一点，连接ＣＰ，直线ＣＰ 把四边形 ＣＢＰＡ的面积分为１∶５两部分，求 点Ｐ的坐标． 解：（１）∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ （－４，０），Ｂ（２，０），与ｙ轴交于点Ｃ（０，２）， ∴ １６ａ－４ｂ＋ｃ＝０， ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝２ { ， 解得 ａ＝－１４， ｂ＝－１２， ｃ＝２        ， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－１４ｘ ２－１２ｘ＋２； （２）如解图，设直线ＣＰ交ｘ轴于点Ｅ， ∴ＢＥ∶ＡＥ＝１∶５或 ＢＥ∶ＡＥ＝５∶１，则 ＡＥ＝５ 或１， 即点Ｅ的坐标为（１，０）或（－３，０）， 设直线ＣＰ的表达式为ｙ＝ｎｘ＋２，将点Ｅ的 坐标代入 解得ｎ＝－２或２３， 故直线 ＣＰ的表达式为 ｙ＝－２ｘ＋２或 ｙ＝２３ｘ＋２，联立 ｙ＝－２ｘ＋２， ｙ＝－１４ｘ ２－１２ｘ { ＋２或 ｙ＝２３ｘ＋２， ｙ＝－１４ｘ ２－１２ｘ＋２      ， 解得ｘ＝６或ｘ＝－１４３或ｘ＝０（舍去）， 故点Ｐ的坐标为（６，－１０）或（－１４３，－ １０ ９）． ２． 已知抛物线Ｌ：ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ ＋ｃ与 ｘ轴交于Ａ（２，０），Ｂ（４，０）两点，与 ｙ 轴交于点Ｃ． （１）求抛物线Ｌ的表达式及点Ｃ的坐标； （２）点Ｍ是ｘ轴上一点，记抛物线Ｌ关于点 Ｍ中心对称的抛物线为Ｌ′，抛物线Ｌ′与ｙ轴 的交点为Ｅ，点Ａ，Ｂ的对应点分别为Ａ′，Ｂ′， 连接ＡＣ，ＢＣ，Ａ′Ｅ，Ｂ′Ｅ，当 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｅ时， 求出点Ｍ的坐标以及抛物线Ｌ′的表达式． （１）抛物线 Ｌ的表达式为 ｙ＝－１２ｘ ２＋３ｘ －４， 点Ｃ（０，－４）； （２）抛物线Ｌ′的表达式为ｙ１＝ １ ２ｘ ２＋３ｘ＋４， ｙ２＝ １ ２ｘ ２－３ｘ＋４； 点Ｍ的坐标为Ｍ１（０，０），Ｍ２（３，０）．                                                                    详解见答案册 １３１ 一战成名·陕西数学 专 题 二 二 次 函 数 综 合 题 类型 ２　与特殊三角形有关 １．已知抛物线Ｃ１：ｙ＝－ｘ ２＋ｂｘ＋３与ｘ轴的一 个交点为（１，０），顶点记为 Ａ，抛物线 Ｃ２与 抛物线Ｃ１关于ｙ轴对称． （１）求抛物线Ｃ２的表达式； （２）若抛物线 Ｃ２与 ｘ轴正半轴的交点记作 Ｂ，在ｘ轴上是否存在一点Ｐ，使△ＰＡＢ为等 腰三角形？若存在，求出点 Ｐ的坐标；若不 存在，请说明理由． 解：（１）把点（１，０）代入ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋３， 得－１＋ｂ＋３＝０，解得ｂ＝－２， ∴ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３＝－（ｘ＋１）２＋４， ∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为Ａ（－１，４）， ∵抛物线Ｃ２与抛物线Ｃ１关于ｙ轴对称， ∴抛物线 Ｃ２的表达式为 ｙ＝－（ｘ－１） ２＋ ４＝－ｘ２＋２ｘ＋３； （２）存在．令ｙ＝０，则－ｘ２＋２ｘ＋３＝０， 解得ｘ＝－１或ｘ＝３， ∴Ｂ（３，０），∴ＯＢ＝３， ∵Ａ（－１，４），∴ＡＢ＝４槡２． 设Ｐ（ｘ，０），则ＡＰ＝ （ｘ＋１）２槡 ＋１６， ＢＰ＝ （ｘ－３）槡 ２， ①当ＡＰ＝ＡＢ＝４槡２时，Ｐ１（－５，０）； ②当ＢＰ＝ＡＢ＝４槡２时，Ｐ２（３－４槡２，０）， Ｐ３（３＋４槡２，０）； ③当ＡＰ＝ＢＰ时，Ｐ４（－１，０）． 综上，当点Ｐ的坐标为（－５，０）或（３－４槡２， ０）或（３＋４槡２，０）或（－１，０）时，△ＰＡＢ为 等腰三角形． ２．（２０２２陕西五行卷）已知顶点是Ｍ的抛物线 ｙ＝ｘ２－２ｘ－３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点（点Ａ在 点Ｂ左侧），与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求点Ａ，点Ｂ，点Ｍ的坐标； （２）在 ｙ轴上是否存在一点 Ｑ，使得△ＱＢＭ 为直角三角形？若存在，求出点 Ｑ的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（１）点 Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）；点 Ｍ（１， －４）； （２）存在． 设点 Ｑ的坐标为（０，ｍ），如解图①，当 △ＱＢＭ为直角三角形，且∠ＢＱＭ＝９０°时， 取ＢＭ的中点 Ｄ，连接 ＤＱ，则△ＱＢＭ满足 ＤＱ＝ＤＢ＝ＤＭ， ∵抛物线的顶点坐标为Ｍ（１，－４）， ∴Ｄ（２，－２）， ∵ＤＱ２ ＝ＤＢ２，∴（０－２）２ ＋（ｍ＋２）２ ＝ （３－２）２＋（０＋２）２，解得 ｍ１＝－１，ｍ２＝ －３， ∴点Ｑ的坐标为（０，－１）