第二部分 专题六 培优提分 概率统计中的创新题（课时作业）-【创新教程】2023高考数学总复习大二轮（新教材）

1．(2022·济南期末)某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占. (1)请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存在关联？ 满意 不满意 合计 上班族 非上班族 合计 (2)为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过n(n∈N＋)，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束． (ⅰ)若n＝5，写出X5的分布列和数学期望； (ⅱ)请写出Xn的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的数学期望的实际意义． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x2 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)由题意可知 满意 不满意 合计 上班族 15 40 55 非上班族 35 10 45 合计 50 50 100 零假设为H0：市民对交通的满意度与是否上班独立， 因为χ2＝＝≈25.253>10.828； 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)(ⅰ)当n＝5时，X5的取值为1,2,3,4,5， 由(1)可知市民的满意度和不满意度均为； 所以P(X5＝1)＝，P(X5＝2)＝，P(X5＝3)＝，P(X5＝4)＝，P(X5＝5)＝， 所以X5的分布列为 X5 1 2 3 4 5 P 所以E(X5)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. (ⅱ)E(Xn)＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·＝2－， 当n趋向于正无穷大时，E(Xn)趋向于2，此时E(Xn)恰好为不满意度的倒数； 也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民． 2．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28 nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产． (1)在试产初期，该款芯片的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. ①求批次I芯片的次品率PI； ②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次I的芯片智能自动检测显示合格率为92%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率(百分号前保留两位小数)． (2)已知某批次芯片的次品率为P(0<P<1)，设100个芯片中恰有1个不合格品的概率为φ(p)，记φ(p)的最大值点为P0，改进生产工艺后批次J的芯片的次品率PJ＝P0.某手机生产厂商获得I批次与J批次的芯片，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，安装I批次有40部，其中对开机速度满意的有28人；安装J批次有60部，其中对开机速度满意的有57人．求P0，并判断是否有99.9%的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？ 附：χ2＝. α 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)①Ⅰ批次芯片的次品率为 PI＝1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)＝1－××＝. ②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 由已知得P(A)＝，P(AB)＝1－PI＝1－＝， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A， P(B|A)＝＝×＝＝≈99.38%. (2)100个芯片中恰有1个不合格的概率 φ(p)＝C×p×(1－p)99.