第二部分 专题四 第1讲 空间几何体（课时作业）-【创新教程】2023高考数学总复习大二轮（新教材）

　　　　　　 一、单选题 1．(2022·湖南六校2月联考)一个圆柱的侧面展开图是一个面积为16π2的正方形，则这个圆柱的体积为(　　) A．16π　 B．4π　 C．16π2　 D．8π2 解析：C　[设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个面积为16π2的正方形，所以h＝2πr，h2＝16π2，所以h＝4π，r＝2，所以圆柱的体积为πr2·h＝16π2.故选C.] 2．(2022·广东质检)已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为(　　) A．2 B．3 C. D． 解析：C　[设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示： 则圆锥的体积V＝πr2h＝3π，所以r2h＝9，即h＝， S侧＝·2πrl＝2πr2，则l＝2r， 又h＝＝r，所以r3＝9，故r＝. 故选C.] 3．(2022·岳阳质检二)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为(　　) A.π B．4π C．8π D．12π 解析：B　[若棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的体对角线长，即2R＝＝2，(其中R是该球的半径)， 所以R＝，则球的体积V＝πR3＝4π.故选B.] 4．(2022·济宁三模)若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为(　　) A．2∶1 B．3∶2 C．7∶3 D．7∶4 解析：C　[如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点， 设正六棱柱的底面边长为2， 若正六棱柱有内切球，则OO1＝O1D＝，即内切球的半径r＝， OA2＝OO＋O1A2＝7，即外接球的半径R＝， 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3.故选C.] 5．(2022·菏泽一模)如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为(　　) A．3 B．4 C．4 D．6 解析：A　[在题图1中V水＝×2×2×2＝4， 在题图2中，V水＝VABC－A1B1C1－VC－A1B1C1＝×2×2×h－××2×2×h＝h， ∴h＝4，∴h＝3.故选A.] 6．(2022·徐州、淮安、宿迁、连云港期末)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是(　　) A．15π B．36π C．45π D．48π 解析：C　[如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F， 因为MN平行于地面，故∠MNF＝30°， 椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18， 故NF＝18－12＝6， 在Rt△MFN中，MF＝NF×tan 30°＝2， 即圆柱的底面半径为， 所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为(12＋18)的圆柱体积的一半， 即为×π×()2×30＝45π，故选C.] 7．(2022·广州三模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面α去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为S，周长为l，则(　　) A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值 解析：B　[正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图与平面A1BD平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，即EF∥A1B等， 设＝λ，则＝B1E＝λ，∴＝＝1－λ， ∴EF＋NE＝λ＋(1－λ)＝，同理可得六边形其他相邻两边的和为， ∴六边形的周长l为定值3. 当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大， 最大面积为×2×6＝， 故可得周长l为定值，面积S不为定值，故选B.] 8．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A. B． C. D．[18,27] 解析：C　[∵球的体积为36π，所以球的半径R＝3， 设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2＝2a2＋h2,32＝2a2＋(3－h)2， 所以6h＝l2,2a2＝l2－h2， 所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h ＝××＝， 所以V′＝＝l3， 当3≤l≤2时，V′＞0，当2＜l≤3时，V′＜0，所以当l＝2时