第二部分 专题四 第3讲 空间向量与立体几何（课时作业）-【创新教程】2023高考数学总复习大二轮（新教材）

　　　　　　 1．(2022·泰州一调)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AA1＝AD＝2BC＝2，AB＝.点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F. (1)求证：BD⊥C1F； (2)若BE与平面ABCD所成角的正弦值为，试确定点F的位置． 解： (1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD， 因为BD⊂平面ABCD， 所以AA1⊥BD，连接AC， 因为tan∠ADB＝＝，tan ∠CAB＝＝， 所以∠ADB＝∠CAB，所以AC⊥BD， 又因为AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A， 所以BD⊥平面ACC1A1， 因为C1F⊂平面ACC1A1， 所以BD⊥C1F. (2)以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0，，0)，C(1，，0)，C1(1，，2)，设E(x,0,2)， 易知平面ABCD的法向量为j＝(0,0,1)，＝(x，－，2)，x>0 则＝＝，解得x＝， 则E，＝， ＝， 设F(0,0，z)，＝(－1，－，z－2)，则(－1，－，z－2)＝m＋n， ，解得m＝－，n＝，z＝1， ∴F(0,0,1)，即点F为棱AA1的中点． 2．(2022·济南模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点． (1)求证：B，E，D1，F四点共面； (2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由． 解： (1)证明：如图所示： 连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME， 因为E为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形， 所以D1E∥MC1， 又因为F为BB1的中点， 所以BM∥C1F，且BM＝C1F， 所以四边形BMC1F为平行四边形， 所以BF∥MC1， 所以BF∥D1E， 所以B，E，D1，F四点共面． (2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 假设存在满足题意的点G，设G(0,0，t)， 由已知B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)， 则＝(－1,1,0)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0，t－1)， 设平面BEF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则，即， 取x1＝1，则n1＝(1,1,1)； 设平面GEF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则，即， 取x2＝t－1，则n2＝(t－1，t－1,1)； 因为平面GEF⊥平面BEF， 所以n1·n2＝0， 所以t－1＋t－1＋1＝0， 所以t＝. 所以存在满足题意的点G，使得平面GEF⊥平面BEF，DG的长度为. 3．(2022·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 解： (1)取BC中点D，连接B1D，DN.在三棱柱ABC－A1B1C1中， A1B1∥AB，A1B1＝AB，因为M，N，D分别为A1B1，AC，BC的中点，所以B1M∥AB，B1M＝AB，DN∥AB，DN＝AB，即B1M∥DN且B1M＝DN，所以四边形B1MND为平行四边形，因此B1D∥MN. 又MN⊄平面BCC1B1，B1D⊂平面BCC1B1， 所以MN∥平面BCC1B1. (2)选条件① 因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1， 又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1， 且平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝BB1， 所以CB⊥平面ABB1A1，而AB⊂平面ABB1A1，所以CB⊥AB 由(1)得B1D∥MN，又因为AB⊥MN， 所以AB⊥B1D， 而B1D∩CB＝D，所以AB⊥平面BCC1B1， 在三棱柱ABC－A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直， 故分别以BC，BA，BB1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝BC＝BB1＝2，则B(0,0,0)，N(1,1,0)， M(0,1,2)，A(0,2,0)， 所以＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0，－2,0)， 设平面BMN的法向量n＝(x，y，z)， 由得令x＝2， 得n＝(2，－2,1)． 设直线AB与平面BMN所成角为θ， 则sin θ＝