第二部分 专题四 培优提分 立体几何中的动态问题（课时作业）-【创新教程】2023高考数学总复习大二轮（新教材）

1．(2022·大连二模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是棱AA1上的一个动点(不包括顶点)，平面BFD1交棱CC1于点E，则下列命题中正确的是(　　) A．存在点F，使得∠D1FB为直角 B．对于任意点F，都有直线A1C1∥平面BED1F C．对于任意点F，都有平面A1C1D⊥平面BED1F D．当点F由A1向A移动过程中，三棱锥F－BB1D1的体积逐渐变大 解析：C　[对于A，易知·＝(＋)·(＋)＝·＝－||||≠0，故与不垂直，故A错误； 对于B，连接A1C1、AC、EF，则平面ACC1A1∩平面BED1F＝EF， 若A1C1∥平面BED1F，则A1C1∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时A1C1与EF才平行，故B错误； 对于C，连接A1D、A1C1、C1D、BD1、AD1、BC1， 由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，易知AD1⊥A1D， ∵AB∩AD1＝A，AB、AD1⊂平面ABC1D1， ∴A1D⊥平面ABC1D1， ∴A1D⊥BD1，同理可证A1C1⊥BD1， ∵A1D∩A1C1＝A1，A1D、A1C1⊂平面A1C1D， ∴BD1⊥平面A1C1D， ∵BD1⊂平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，故C正确； 对于D，连接BD1、FB1、B1D1， ∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1，BB1⊂平面BB1D1， ∴AA1∥平面BB1D1，则F到平面BB1D1的距离为定值， 又△BB1D1面积为定值，故三棱锥F－BB1D1体积为定值，故D错误． 故选C.] 2．[多选](2022·广东2月联考)如图，设E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的两个动点，点E在F的左边，且CD＝2，EF＝1，点P在线段BA1上运动，则下列说法正确的是(　　) A．B1D1⊥平面B1EF B．三棱锥D1－B1EF的体积为定值 C．点P到平面ACD1的距离为 D．直线BA1与直线B1E所成角的余弦值的最大值为 解析：BC　[易证B1D1⊥平面ACC1A1，而平面B1EF，平面A1B1CD同一个平面，若B1D1⊥平面B1EF，即B1D1⊥平面A1B1CD，则可推出平面ACC1A1与平面A1B1CD平行或重合，由图易知这两个平面显然是相交的，矛盾，故A错误； 因为·B1C1，而为定值，B1C1也为定值，所以为定值，故B正确； 因为BA1∥CD1，所以BA1∥平面ACD1.又因为点P在线段BA1上运动，所以点P到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离，其中S△ACD1＝×(2)2＝2，S△ABC＝×2×2＝2.设点B到平面ACD1的距离为d，由，得×2d＝×2×2，解得d＝，即点P到平面ACD1的距离为，故C正确； 以D为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D－xyz， 则B(2,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，E(0，t,0)(0≤t≤1)，＝(0，－2,2)，＝(－2，t－2，－2)． 设直线BA1与B1E成的角为θ，则cos θ＝＝ ＝≤＝，当且仅当t＝1时，等号成立，故D错误．故选BC.] 3．[多选](2022·淮安5月模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有(　　) A．三棱锥B1－A1D1P的体积为定值 B．存在点P，使得D1P⊥AD1 C．若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC D．若点P是AD的中点，点Q是BB1的中点，过P，Q作平面α垂直于平面ACC1A1，则平面α截正方体ABCD－A1B1C1D1的截面周长为3 解析：ACD　[对于A，P为正方形底面ABCD时，三棱锥P－A1B1D1的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A正确； 对于B，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设P(x，y,0)，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，＝(x，y，－1)，＝(－1,0,1)； 若D1P⊥AD1，则·＝0，即x＝－1，与题意矛盾，所以B不正确； 对于C，＝(1,1,1)，由D1P⊥B1D，得x＋y＝1，所以P的轨迹就是线段AC，所以C正确； 对于D，因为BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1； 因为平面α⊥平面ACC1A1，所以BD∥平面α； 以BD为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为，所以截面周长为3，所以D正确． 故选ACD.] 4．[多选]如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝，将△ABD沿BD折起，使A到A′，且点A′不落在底面BCD内，若点M为线段A′C的中点，则在△ABD翻折过程中，以下命题中正确的是(　　) A．四面体A