微专题06 数列中的复杂递推式问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题06 数列中的复杂递推式问题 【秒杀总结】 1、叠加法：； 2、叠乘法：； 3、构造法（等差，等比）： ①形如 (其中均为常数)的递推公式，，其中，构造，即是以为首项，为公比的等比数列． ②形如 (其中均为常数，)，可以在递推公式两边同除以，转化为型． ③形如，可通过取倒数转化为等差数列求通项． 4、取对数法：． 5、由和的关系求数列通项 （1）利用，化为． （2）当不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求． 6、数列求和： （1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型 （2）倒序相加法 （3）裂项相消法 常考题型 数列的通项公式 裂项方法 等差数列型 是公差为的等差数列 是公差为的等差数列 无理型 指数型 对数型 三角型 是公差为的等差数列 阶乘型 【典型例题】 例1．已知数列满足且，设，则的值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：数列满足且，① 可得， 当时，可得，② ①②可得， 即， 则，， 可得， 则 ， 故选：． 例2．已知数列的通项公式为，其前项和为，则在数列，，，中，有理数项的项数为　　 A．42 B．43 C．44 D．45 【解答】解：由题意，可知： ． ． ，，为有理项， 又下标3，8，15，的通项公式为， ，且， 解得：， 有理项的项数为． 故选：． 例3．对于，　　． 【解答】解：由已知中的等式： ； ； 由以上等式我们可以推出一个一般结论： 对于，． 故答案为：． 例4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为　　． 【解答】解：由，得，， 曲线在处的切线方程为， 取，得， ， 则 ． 故答案为：． 例5．在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，． （1）数列的通项公式为　　； （2）　　． 【解答】解：（1）设在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为， 则，，即，为此等比数列的公比． ， ， 故答案为：． （2）由（1）可得，又，， ，． ，， 故答案为：． 例6．数列中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　． 【解答】解：， ， 即，又， 数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ， ． 不等式化为：． ，当且仅当时取等号， 由，则当时，取最小，最小值为 ， 故答案为：，． 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列满足，，设，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【解析】因为，， 所以 ， 所以. 故选：C 2．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足，，，，则六进制转换成十进制后个位为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由题意可知：，，，则，，，，，，所以6是数列的一个周期，又，则3是数列的一个周期，且，，，则六进制转换成十进制的，因为，则有共有674项，每一项的个位数字均为6，所以最终的个为数字为4，即六进制转换成十进制后个位为4. 故选：. 3．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列中，，且，则的值为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【解析】，且， ， 又 .故选:C. 4．（2023秋·江西·高三校联考期末）设，数列中，，，，则下列选项正确的是（    ） A．当，时，则 B．当，时，则 C．当，时，则 D．当，时，则 【答案】D 【解析】选项A：当，时，，，∴.数列的周期为，∴，故A不正确； 选项B：，时，即，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，∴，故选项B不正确； 选项C：当，时，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则，则选项C也不正确； 选项D：当，时，即，则有， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴，∴则选项D正确， 故选：D 5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得：，数列为等差数列， 又，，数列的公差， ，，. 故选：C. 6．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（    ） A．2023 B．2024 C．2696 D．2697 【答案】D 【解析】因为，