备战2023年数学中考-热点模型（15种解法）

2017年安徽中考压轴题 东方岳（原创） 【2017安徽中考-23原题】点M为正方形ABCD边AB的中点. （1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别交BC、CD于E、F. 1）求证：BE＝CF；2）求证：BE2＝BC•CE. （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值。 【知识点】本题考察了正方形有关性质，垂直导角、平行导角、平行导比例、子母相似（公对角形）、黄金分割点（平方乘积式）、正切值、直角三角形中线性质等知识点，综合性强，思维性强. 【真题】（2017安徽中考第三问） 如图，点M为正方形ABCD边AB的中点。在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值。 【分析】求∠CBF的正切值，实质就是求CF与BC两条线段的比， 而，因此，我们只要求出的值即可. 【改编】如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 【分析】这是基本模型，简称“燕尾模型”，此模型可用平行线分线段成比例定理来破解，并且解法很多. △BCM为核心三角形，AE为截线，因此，过核心三角形三个顶点B、M、C作平行线的方法比较简单；而过截线段上的三个点A、G、E作平行也可以解，但过程繁锁，十分复杂。 【一题多解】 情况一：过核心△BCM三个顶点B、C、M作平行线（过程简单） 1、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 2、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 3、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 4、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 5、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 6、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 情况二：过线段AE上三点A、G、E作平行线（过程复杂） 7、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 8、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 9、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 10、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 11、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 12、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 情况三：利用梅涅劳斯定理，直接求值. 13、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 情况四：利用倍角公式解形求值. 14、如图，点M为AB的中点，BE2＝BC•CE，则=_______. 【迁移】【2017安徽中考-23原题】点M为正方形ABCD边AB的中点. （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值。 图解： 学科网（北京）股份有限公司 $