2023年中考数学备考直角三角形中等腰模型（49种解法）

直角三角形中等腰模型 2018年武汉中考压轴题（49种解法） 东方岳（原创） 直角三角形中，若出现两角相等，一般通过子母相似直接求解，子母相似解决不了，需要通过等腰构造，翻折构造，垂直构造，利用勾股、相似或角平分线定理来实现，也可利用三角函数求解. 【题目】 （2018年武汉市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值. 【分析】本题出现正切值，需要通过垂直构造直角三角形，找出边的关系，又出现两角相等，需要构造出基本模型，利用相关的定理求解. 【一题多解】 一、过一点作垂线，构造直角三角形 1、过点P作垂线 简解1：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，则∠DPC=∠BAP=∠C 又，tan∠CAP= ∴可令，AP=，则CD=PD=2k，AD=3k， 又，△ABP∽△CBA ∴tAnC= 简解2：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，过点D作DE//AB交BC于E， 则CE＝PE＝2k，BP＝BE－PE＝k 又， ∴AB＝ ∴tanC=tan∠BAP= 简解3：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，过点C作CE//AP交PD的延长线于E 则，tanC=tan∠CPE= 简解4：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，交过点A作AE//BC交PD的延长线于E， 则，tanC=tanE= 简解5：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，交AB的延长线于E 则，∠E=∠APB=∠CAB ∴PE=PE－PD=AD－PD=1 ∴tAnC=tAn∠EAP= 简解6：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，过点D作DE//AP交BC于E 则，DE＝ ∴tanC=tan∠DPE= 简解7：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，过点D作DE//BC交AP于E 则，DE平分∠ADP ∴ ∴PE＝ ∴tanC=tan∠EDP= 简解8：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，过点C作DE//PD交AP的延长线于E 则，CE＝，PE＝ ∴tan∠ACB=tan∠PCE= 简解9：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，过点A作AE//PD交CB的延长线于E 则，AE＝ ∴tan∠C=tanE= 简解10：东方岳 如图，过点P作DP⊥AP交AC于D，延长CB至E，使BE＝BP 则，∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝∠PAB＋∠BAC＝∠C＋∠BAC＝90° ∴tanC= 简解11：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点A作AE//BC交PD延长线于E ∠PAE＝∠APB＝90°－∠PAB＝90°－∠C＝∠CPE＝∠E 可令，AD＝，则PD＝2k，AP＝EP＝3k ∴DE＝PE－PD＝AP－PD＝k ∴tanC＝tan∠CAE= 简解12：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点A作AE//PD交CB延长线于E 则CD＝ ∴tanC= 简解13：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点A作AE//PD交CB延长线于E 则，∠EPC＝∠APB＝∠ECP ∴PE＝PC＝k 又，，即 ∴k=6 ∴CD＝2AD＝2 ∴tanC= 简解14：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点A作AE//PD交CB延长线于E 则，tanC= 简解15：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点D作DE//AP交BC延长线于E 则，tanC= 简解16：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点B作BE//DP交AC延长线于E，交AP于F 则，tanC= 简解17：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点P作PE//AB交AC延长线于E， 则，∠APE＝∠DPE ∴ ∴tanC＝tan∠EPD= 简解18：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，交AB的延长线于E，连接CE， 则，∠APE＝90°－∠EAD＝∠ACB＝∠EAP ∴PE＝AP＝3 易证：△ECD∽△APD ∴ ∴CD＝ ∴tan∠ACB = 简解19：东方岳 如图，过点P作PD⊥AC交AC于D，过点C作EC⊥AP于E， 易证：△CDP≌△CEP（AAS） ∴PE＝PD＝2 又， ∴CD＝CE＝ ∴tan∠ACB = 2、过点B作垂线 简解20：东方岳 如图，过点B作BD⊥AP交AC于D，交AP于E， 则，BE＝BD－DE＝AD－DE＝1 ∴tan∠ACB=tan∠BAE = 简解21：东方岳 如图，过点B作BD⊥AC于D， 则，E为AP的中点， ∴tanC= 简解22：如图 如图，过点B作BD⊥AP于D，过点P作PE//AC交BD于E 则，BE＝PE＝3 ∴tanC=tan∠PBD = 简解23：东方岳 如图，延长CB至D，使DP=AD， 则，∠DA