专题19 解析几何中的定值、定点和定线问题（练）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题19解析几何中的定值、定点和定线问题（练） 【对点演练】 一、单选题 1．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条． A．0 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知为坐标原点， 是抛物线上的动点，且，过点作，垂足为，下列各点中到点的距离为定值的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的上下顶点分别，焦点为，为椭圆上异于的一动点，离心率为，则（    ） A．的周长为 B．离心率越接近，则椭圆越扁平 C．直线的斜率之积为定值 D．存在点使得，则 4．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 三、解答题 5．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标. 6．（2022秋·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上． 7．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知为坐标原点，动直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与相切，证明：的面积为定值. 8．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知为双曲线左右顶点，焦点到渐近线的距离为，直线上一点与点连线与双曲线右支交于另一点，点与点连线与双曲线右支交于另一点D. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出该定点. 9.（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，且，以为圆心，为半径的圆经过点. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于， （ⅰ）设点在第一象限，且直线与交于.若，求的值； （ⅱ）连接交圆于点，射线上存在一点，且为定值，已知点在定直线上，求所在定直线方程. 10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． (1)若，求的值； (2)若M是线段AN的中点，求直线的方程； (3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【冲刺提升】 1．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，，，直线AP，BP 相交于点 P，且它们的斜率之积是1，记点P的轨迹为C． (1)求证：曲线C是双曲线的一部分： (2)设直线l与C相切，与其渐近线分别相交于 M、N两点，求证：的面积为定值 2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过、两点. (1)求的方程； (2)若，过的直线与交于、两点，求证：. 3．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆相交于点A，B． (1)求椭圆的方程； (2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P，M．求证：直线经过定点． 4．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF． (1)求C的方程； (2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，)，直线，相交于点Q．证明：点Q在一条平行于x轴的直线上． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，是上一点. (1)求的方程. (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上. 7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记的轨迹为.