专题19 解析几何中的定值、定点和定线问题（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题19解析几何中的定值、定点和定线问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 2．（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 3.（2020·全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，选择题、填空题、解答题三种题型均有，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查抛物线、双曲线的几何性质；四是考查直线与圆锥曲线（椭圆、抛物线较多）位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 近几年，小题多用于考查抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等，命题角度呈现较强的灵活性；解答题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及三角形面积、参数范围、最值、定值、定点、定直线等问题，命题方向多变，难度基本稳定.近两年，直线与与双曲线的位置关系的主观题连续出现！ （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 定点问题 【核心知识】 动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【典例分析】 典例1. （2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点. 典例2.（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为． (1)求E的方程； (2)设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点． 典例3.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)证明：存在定点，使得，且. 【规律方法】 解答直线和曲线过定点问题的基本思路: （1）把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零.既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）由直线方程确定定点，若得到了直线的点斜式方程: ，则直线必过定点，若得到了直线的斜截式方程: ，则直线必过定点. 考向二 定值问题 【核心知识】 定值问题常见解法： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关. （2）直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值. 【典例分析】 典例4.（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值． 典例5.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值. 典例6.（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知双曲线的焦距为，，为的左、右顶点，点为上异于，的任意一点，满足. (1)求双曲线的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，，在轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由. 【总结提升】 解答定值问题的两大途径 (1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关． (2)先