精品解析：山东省烟台第一中学2022-2023学年高二下学期入学摸底测试数学试题

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于( ) A. B. C. D. 3. 已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 5. 已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，，则周长是（ ） A 2 B. C. 4 D. 6. 已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若数列满足，，若对任意的正整数都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 两两共面，但不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 一定能构成空间的一个基底 10. 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线准线上的射影分别为交准线于点M(O为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线轴 D. 的最小值是 11. 已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为单调递增数列 B. C. ，，成等比数列 D. 12. 设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 14. 已知点、分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的周长是________． 15. 用数学归纳法证明时，第一步取________. 16. 若，，且函数在处有极值，则最大值等于__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 18. 已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点； （2）若以E(0，)为圆心圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程． 19. 已知F是抛物线焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于两点，若． （1）求抛物线的标准方程； （2）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程． 20. 已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4． （1）求椭圆C的标准方程 （2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求与； （2）记，求数列的前项和. 22. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间坐标系，设，求出关于的表达式，根据球的半径得出的取值范围，利用简单的线性规划得出答案. 【详解】设的中点为，以为原点建立如图所示的空间坐标系， 则， 设，则，， ， 在以为球心，以为半径的球面上， ， ，， 令， 则直线与单位圆相切时，截距取得最小值， 令，解得或 的最大值为. 故选：C 【点睛】本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题. 2. 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】