2023年中考数学专题练习--相似三角形与圆的综合

2023年中考数学专题练习--相似三角形与圆的综合 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA； （3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长． 2．如图，直线 与⊙ 相离， 于点 ，与⊙ 相交于点 ， . 是直线 上一点，连结 并延长交⊙ 于另一点 ，且 . （1）求证： 是⊙ 的切线； （2）若⊙ 的半径为 ，求线段 的长. 3．如图，四边形 内接于 ， ， 是对角线，点 在 的延长线上，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2） 与 的延长线交于点 ，若 ， ， ，求证： ； （3）求 的长． 4．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ． （1）求证：RQ是⊙O的切线； （2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2； （3）当RA≤OA时，试确定 ∠OBQ 的取值范围． 5．如图，AB是⊙O的直径，点E是 上的一点，∠DBC=∠BED． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知AD=3，CD=2，求BC的长． 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆， 的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线 ． （1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若 ，求BD的长． 7．如图， 内接于⊙O，AB为⊙O的直径， ， .连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点. （1）求证： . （2）求 的值. 8．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证： ； （2）若 ， ，求CD的长． 9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径． 10．已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）当AB=10，BC=8时，求BD的长． 11．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长； （3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． 12．如图，在 中， 是 边上的中线，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ． （1）求证： ； （2）求证：直线 是 的切线． 13．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB=12 ，求AC的长． 14．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径． 15．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC． （1）求证：∠FBC=∠FCB； （2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E． （1）求证：ED为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积． 17．如图，AD是△ABC的角平分线，，以AC上一点O为圆心，作过点A和点D的⊙O，与AC交于另一点E，连接DE （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径 18．如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的切线， 交⊙O于点E． （1）若D为 的中点，证明： 是⊙O的切线； （2）若 ， ，求⊙O的半径 的长． 19．如图：△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F. （1）试说明DF是⊙O的切线； （2）若AC=3AE，求