微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题 【秒杀总结】 1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性. 2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3、证明数列单调性的方法：根据与的关系判断出数列的单调性（当恒为正或者负时，可以考虑利用与的大小关系判断数列单调性）. 4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求，可以令，将选项中的所有数字用来表示，然后通过来验证哪个选项正确.如果题目问的是之类的偶数年份，最好是通过这样的偶数项来验证. 【典型例题】 例1．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，令，得到. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故，即（当且仅当时取等号）. 故（当且仅当时取等号）. 即.要使对任意的都存在，使得成立， 显然时，，一定能满足题意； 当时，，如图此时不满足题意； 当时，，如图此时满足题意； 综上，. 故选：C 例2．（2023•新蔡县月考）数列满足，则数列的前60项和等于　　 A．1830 B．1820 C．1810 D．1800 【解析】解：由， 可得数列的前60项和为 ． 故选：． 例3．（2023•江苏模拟）若单调递增数列满足，且，则的取值范围是　　． 【解析】解：单调递增数列满足，且， ，解得， ，解得， 由条件可以得出，也就是隔3项成等差数列，公差为3． 只要保证就可以保证整个数列单调递增． 单调递增数列中，，， ，解得． 的取值范围是，． 故答案为：，． 例4．（广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________. 【答案】 【解析】设，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 例5．（江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）数列中，，且，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 由为变形为，又 所以数列是等比数列，首项为2，公比为，所以，可得， 所以，则，所以，解得， 当n为奇数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以， 当n为偶数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以， 综上得，所以实数的最大值为， 故答案为：. 例6．（江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）已知数列的前项和为，若对一切正整数，不等式恒成立，则满足条件的最小整数为______. 【答案】2020 【解析】解：当时，，得， 当时，， 整理得 ，等式两边同除得， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， ， 则， 所以不等式对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 令，当时，最大， ， 解得，因为，， 此时， ，即。 所以满足条件的最小整数为2020. 故答案为：2020 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（    ） A． B． C．180 D．240 【答案】D 【解析】当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，. ，. 故选：D 2．（2023·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，对，，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，由已知可得. 令，由已知可得， 设，则，整理可得. 又，所以，所以. 则， 所以. 故选：A. 3．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4 【答案】A 【解析】， 时，， 相减可得：，即 又时，，解得，满足， 数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以． 对任意正整数n，都有成立， 得①， 又②， ②－①×3得：， 又，所以，得， 进而， 由，得，即， 记，