微专题03 解三角形-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题03 解三角形 【秒杀总结】 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理． 【典型例题】 例1．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由余弦定理得， ∵， ∴ ∴ ∴， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，∴，∴ （2）由（1）得， ∴， ∵，又，∴，∴， 函数在上单调递减，在上单调递增 ， ∴， ∴的取值范围为． 例2．（2023·浙江·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理得， 又，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，故， 又，所以， 因为，所以． （2）由（1）得， 所以由余弦定理得， 记，则， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即， 故，则， 所以，即． 例3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知，D为边AC上一点，，. (1)若，，求； (2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 【解析】（1）如图1，，， 所以， 因为，， 所以， 故，则，即， 又，则，故， 不妨记，，则， 因为， 所以，解得，则， 因为，所以， 所以. （2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与， 因为直线BD平分， 所以由角平分线性质定理得，记，则， 记，则， 因为， 所以， 因为，即，则， 所以，即， 因为（为顶点到的距离）， 又，， 所以，则， 令，则，， 所以， 因为，所以，则，故， 所以，即， 所以，故， 所以与内切圆半径之比的取值范围为. . 例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【解析】（1），由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； （2）锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 例5．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知． (1)求证：B＝2A； (2)求的取值范围． 【解析】（1）， 由正弦定理得：， 由积化和差公式可得：， 因为， 所以， 因为三角形ABC为锐角三角形，故， 所以， 故，即； （2）由（1）知：， 由正弦定理得： ， 其中， 因为， 所以 ， 由得：， 由，解得：， 结合可得：，， 故在上单调递增， 所以， 即. 例6．（2023·全国·高三校联考阶段练习）中，，是边上的点，，且. (1)若，求面积的取值范围； (2)若，，平面内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由面积公式可得： ， ， 因为，故， 由可得即， 建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则， 则，整理得到：， 故的边上的高的范围为，故其面积的取值范围为： （2） 因为，故，故， 故为直角三角形且 如图，设，则，故， 同理， 故，而，故， 在中，由余弦定理可得：， 整理得到： 所以， 整理得到：，解得或， 但为锐角，故，故 故存在且. 例7．（2023·全国·高三专题练习）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分． 【解析】（1）若选①， 由正弦定理可得 即，又，所以，即， 因为，所以； 若选②，即， 即， 所以，即，所以，即， 因为，所以； （2）依题意，， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又为锐角三角形， 当为锐角，则，即， 即，即，即，所以， 当为锐角，则，即， 即，即，即，即，所以， 综上可得， 又，则 因为，所以，而在上单调递减，所以， 即，即，所以，则. 【过关测试】 1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知的内角A，B，