微专题05 数列经典题型精练-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题05 数列经典题型精练 【秒杀总结】 1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩. 3、几种常见的数列放缩方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） ； （10） ； （11） ； （12）； （13）. 【典型例题】 例1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前n项和，求； （3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数， ∴当时，， 当时， ∴，即， ∴数列为首项为1公差为1的等差数列， 故； （2）∵， ∴， 所以当时，， 当时， ∴； （3）由题知， 令，则， ∴， 故单调递减，于是 ∴要得不等式对一切都成立，则． 例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知为数列的前项和，，，成等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）因为，，成等差数列，即， 当时，，两式相减得， 所以是公比为2的等比数列， 即，即．由，得， 所以的通项公式． （2）由（1）知 ， 又因为，， 故 ， ∴． 例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点．点的横坐标构成数列 （Ⅰ）试求与之间的关系，并证明：； （Ⅱ）若，求证：． 【解析】（Ⅰ）由已知，，从而有 因为在上，所以有 解得 由及，知，下证： 解法一：因为，所以与异号 注意到，知， 即 解法二：由可得， 所以有，即是以为公比的等比数列； 设，则解得， 从而有 由可得 所以， 所以 （Ⅱ）证明：因为 所以 因为，所以，所以有 从而可知 故 所以 所以 例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设出等差数列的公差，根据给定条件列式计算即可作答． （2）由（1）的结论求出，借助裂项相消法求出，再探求成等差数列的m，n值即可作答． （1）设等差数列的首项为，公差为（d>0），则，解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是． （2）由（1）知，， 因此，． 假设存在正整数，，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然n+3是25的正约数，又，则或25， 当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 例5．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列满足，求证：． 【解析】（1）两边同时除以，得，再利用等差数列的定义证明． （2）由（1）得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解； （3）根据，得到证明． （1）证明：两边同时除以， 得， 又，故是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）可知，， 则． 当时，， 而符合上式，故． （3）证明：因为，故， 且， 而， 故． 例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有 （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求证：． 【解析】（1）当，，时，分别求出通项公式，再综合即可； （2）利用放缩法进行证明即可． （1）当时，即 奇数项成等比数列 时， 当时，即① 当时，② ②-①得 化简得 即 等式两边同时除以得 等价于 即 由题知，当时， 故即 时， 综上，， （2）由（1）知， 当时， 即， ，， 即 【过关测试】 1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且. (1)若，求的值； (2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和. 【解析】（1）中令得：， 因为数列的各项均为非零实数，所以， 因为，所以，即，解得：； （2），即， 所以，，，……，，以上式子相乘得： ， 因为数列的各项均为非零实数，且，所以， 即，当时，， 所以， 因为，所以， 所以，， 故数列为等差数列，首项为，公差为， 数列为等差数列，首项为，公差为， ，所以， 所以， ， 故，所以，所