第22章 二次函数专题知识总结 2022—2023学年人教版数学九年级上册

二次函数 一、二次函数的概念 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 二、二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x–h)2+k(a,h,k为常数,a≠0),顶点坐标是(h,k). (3)交点式:y=a(x–x1)(x–x2),其中x1,x2是二次函数与x轴的交点的横坐标,a≠0. 三、二次函数的图象及性质 1.二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 对称轴 x=– 顶点 (–,) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时, y最小值= 当x=–时, y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时,y随x的增大而减小;当x>–时,y随x的增大而增大 当x<–时,y随x的增大而增大;当x>–时,y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a,b,c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2–4ac>0 与x轴有两个交点 b2–4ac<0 与x轴没有交点 四、抛物线的平移 1.将抛物线解析式化成顶点式y=a(x–h) 2+k,顶点坐标为(h,k). 2.保持y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下: 3.注意 二次函数平移遵循“上加下减,左加右减”的原则,据此,可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式;二次函数图象的平移可看作顶点间的平移,可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式. 五、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). 2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 3.(1)b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根,抛物线与x轴有两个交点; (2)b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴有且只有一个交点; (3)b2–4ac<0⇔方程没有实数根,抛物线与x轴没有交点. 1.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①;②;③;④, 其中;⑤.(以上式子a≠0) 几种特殊的二次函数的图象特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0,0) (轴) (0,) (,0) (,) () 2.抛物线的三要素: 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线. 3.抛物线中,的作用: (1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线, 故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,): ①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式: (1)一般式:(a≠0).已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式. (2)顶点式:(a≠0).已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”:已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式: (a≠0).(由此得根与系数的关系:). 要点诠释: 求抛物线(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用. 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数,当时,得到一元二次方程,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根; (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根; (3)当二次函数的图象与x轴没有交点,这时,则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系: 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程