精品解析：湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(六)数学试题

湖南师大附中2023届高三月考试卷（六） 数学 命题人、审题人：高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数满足，则（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数是12，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 为的中点，面，且，动点在以为球心半径为1的球面上运动，点在面内运动，且，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点P，使面 B. 二面角平面角为60° C. 的最小值是 D. P到平面的距离最大值是 10. 定义：如果函数在上存在，（），满足，则称，为上“对望数”.已知函数为上的“对望函数”.下列结论正确的是（ ） A. 函数在任意区间上都不可能是“对望函数” B. 函数是上的“对望函数” C. 函数是上的“对望函数” D. 若函数为上的“对望函数”，则在上单调 11. 已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为 B. 双曲线C的离心率为 C. 为定值 D. 的取值范围为 12. 定义在R上函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数关于对称 C. 函数是周期函数 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为___________． 14. 平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆C：的一条弦，且，M是AB的中点.当弦AB在圆C上运动时，直线l：上总存在P，Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_____. 15. 已知（为自然对数的成数），，直线是与的公切线，则直线的方程为________. 16. 如图，已知椭圆和抛物线一个交点为P，直线交于点Q，过Q作的垂线交于点R（不同于Q），若是的切线，则椭圆的离心率是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值. 18. 已知数列中，，其前项的和为，且满足(). （1）求证：数列是等差数列； （2）证明：当时，. 19. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，E是棱的中点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 20. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，其分布密度函数，的最大值为，且.笔试成绩高于70分的学生进入面试环节. （1）求μ和σ； （2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率； （3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：若，则，，，. 21. 过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于、两点． （1）试证明、两点的纵坐标之积为定值； （2）