重难点2-5 函数不等式恒成立问题6大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

重难点2-5 函数不等式恒成立问题6大题型 新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题变式考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方程、不等式和数列等知识为载体，渗透着还原、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法。近几年的数学高考中频频出现恒成立问题、能问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分，考查难度一般为中等或难题。 一、单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 二、双变量不等式与等式 一般地，已知函数， 1、不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 2、相等关系 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 【题型1 单变量不等式恒成立问题】 【例1】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）设函数，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，若对任意的都有不等式成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【变式1-2】（2022秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知一次函数满足. （1）求的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围. 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数是奇函数. （1）求 的值; （2）用定义证明 在上为减函数; （3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围. 【题型2 单变量不等式能成立问题】 【例2】（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数为幂函数． （1）求函数的值域； （2）若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【变式2-2】（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数，． （1）当a＝2时，求不等式的解集； （2）若，使成立，求a的取值范围． 【变式2-3】（2021秋·江苏·高三校联考期中）已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，求x的取值范围. 【变式2-4】（2022秋·重庆北碚·高三重庆市朝阳中学校考开学考试）已知函数是奇函数，是偶函数. （1）求和的值； （2）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【题型3 任意-任意型不等式成立问题】 【例3】（2022秋·上海徐汇·高三上海中学校考期中）已知函数，，若对任意的实数，均有，则实数的取值范围是__． 【变式3-1】（2022秋·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考阶段练习）已知函数满足． （1）求的解析式，并求在上的值域； （2）若对且，都有成立，求实数k的取值范围． 【变式3-2】（2022秋·全国·高三统考阶段练习）已知函数． （1）当时，解不等式； （2）设，当时，对任意，，都有，求的取值范围． 【变式3-3】（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称． （1）若，求x的值． （2）令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【题型4 任意-存在性不等式成立问题】 【例4】（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，，命题：对任意，都存在，使得，则命题正确的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022秋·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考期末）已知函数. （1）若，判断的奇偶性并加以证明； （2）当时， ①用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值； ②设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围. 【变式4-2】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且 （1）判断的奇偶性； （2）求函数在区间上的最大值； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【变式4-3】（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，. （1）求的值；若函数的定义域为，求的值域. （2）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围. 【题型5 存在-存在性不等式成立问题】 【例5】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数. （1）当