2023年中考数学重难点突破——二次函数图象与坐标轴交点问题

2023年中考数学重难点突破——二次函数图象与坐标轴交点问题 一、综合题 1．已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）． （1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值； （2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数； （3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n，求证：|m﹣n|的值与a无关． 2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 3．已知二次函数 ． （1）证明：无论m取何值，函数图象与x轴都有两个不相同的交点； （2）当图象的对称轴为直线x=3时，求它与x轴两交点及顶点所构成的三角形的面积． 4．一名男生掷铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是 铅球运行路线如图所示. （1）求铅球掷出的水平距离： （2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m. 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y= x2+2x+6的图象交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)。 （1）求A，B两点的坐标，并直接写出使y≥0的x的取值范围； （2）把点B先上平移2个单位，再向左平移n个单位，恰好落在二次函数的图象上，求n的值。 6．已知二次函数，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与轴的交点是C，求： （1）A，B，C三点的坐标． （2）ΔABC的面积． 7．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ +bx﹣4经过点A（4，0），与y轴交于点C，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称． （1）求这条抛物线的解析式并求出点B的坐标； （2）连结AC、BC，点P在y轴上，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似时，求点P的坐标； （3）连结AC、BC，点D在直线AC上且tan∠BDC＝3，求点D的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C、点D关于x轴对称，连接，作直线． （1）求b、c的值； （2）求点A、B的坐标； （3）求直线的解析式； （4）点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 9．已知二次函数 . （1）若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 轴交点及顶点的坐标； （2）在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范围； （3）若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数 图象经过 两点，试比较 的大小 . 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点，直线BC的函数解析式为y＝kx＋b； （1）求点A、B、C的坐标； （2）求出直线BC的函数解析式，并根据图像直接写出时x的取值范围； （3）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F． ①求△BCD面积的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标． 11．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. （1）求点A、B、C的坐标； （2）若点D在x轴的上方，以A、B、D为顶点的三角形与 全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请你写出平移过程，并说明理由。 12．平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点. （1）求a，b的值； （2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m. ①求平移后抛物线的函数关系式； ②求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值. 13．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经 过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点． （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求的值． 14．综合与实践 如图1，抛