2023年中考数学重难点突破——二次函数-动态几何问题

 

2023年中考数学重难点突破——二次函数-动态几何问题

一、综合题

1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 过 三点，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ． 

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；  

（2）求以点A、点C及点D围成的 的面积；  

（3）在抛物线上是否存在点P，使得 ，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．  

2．如图，已知抛物线上有三点A(-4，0)、B(1，0)、C(0，-3)．

（1）求出抛物线的解析式；  

（2）是否存在一点D，能使A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在请求出D点坐标，若没有，请说明理由．  

（3）在（2）问的条件，P为抛物线上一动点，请求出|PD-PB|取最大值时，点P的坐标．  

3．在平面直角坐标系中，点、两点在直线上，如图．二次函数的图像也经过点、两点，并与轴相交于点，如果轴，点的横坐标是．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设这个二次函数图象的对称轴与交于点，点在轴的负半轴上，如果以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为，求点的坐标；

（3）设这个二次函数图象的顶点是，求的值．

4．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；  

（2）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y= x+ 的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．  

5．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

6．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线 与BC边相交于点D． 

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线 经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式； 

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标.

7．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点.

（1）求抛物线的解析式；  

（2）如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 的坐标和 面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由.

8．如图，抛物线y＝ x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）. 

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；  

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；  

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标.  

9．抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴相交于点H，连接AC，BC．△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后落在第一象限，当点C的对应点C1落在抛物线的对称轴上时，求此时点A的对应点A1的坐标；

（3）如图2，过点C作轴交抛物线于点E，已知点D在抛物线上且横坐标为，在y轴左侧的抛物线上有一点P，满足∠PDC＝∠EDC，求点P的坐标．

10．如图，抛物线 经过 ， 两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使以E，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线 经过A、B、C三点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标.

（3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

12．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D在第三象限的抛物线上，直线经过点A、点D，点D的横坐标为．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，直线交y轴于点T，过点D作轴，交y轴于点H，交抛物线于点P，过点P作，交直线于点Q，求线段的长；

（3）在（2）的条件下，点F在上，直线交于点G，，点M在第二象限，连接交于点E，连接，，，点R在的延长线上，点N在直线上，且点N的横坐标为5，连接，，求点N的纵坐标．

13．如图：四边形 中， ， ， ， ．动点P从B向C以 的速度运动，动点Q由C向D运动．

（1）若P、Q运动速度相等，运动1秒后，试判断 、 的数量关系，并说明理由；

（2）在P、Q运动过程中，若 与 全等，求Q点运动速度；

（3）若Q以 的速度运动，设运动时间为t， 的面积为S，请用含t的代数式表示S，并直接写出S最小值．

14．在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，直线BC与对称轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式．

（2）若抛物线（a＜0）的对称轴上有一点M，以O、C、D、M四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

（3）将抛物线（a＜0）向右平移2个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点，当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，求点F的坐标．

15．如图，抛物线 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 .