2023年中考数学重难点突破——二次函数的最值

2023年中考数学重难点突破——二次函数的最值 一、综合题 1．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（﹣1，0），B（0，3），O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）如图，一抛物线经过点A，B，B′，求该抛物线解析式； （2）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值． 2．如图，二次函数 的图象交 轴于点 ， ，交 轴于点 .点 是 轴上的一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 . （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点 仅在线段 上运动，如图，求线段 长度的最大值. 3．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线． （1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案； （2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S． ①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围； ②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值； ③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． 5．已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标　 　； （2）对称轴为　 　； （3）当x=　 　时，y有最大值是　 　； （4）当　 　时，y随着x得增大而增大。 （5）当　 　时，y＞0. 6．某商场购进一批日用品，若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数 （件）与价格 （元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求：y与x之间的函数关系式； （2）这批日用品购进时进价为4元，则当销售价格定为多少时，才能使每月的润最大？每月的最大利润是多少？ 7．在直角坐标系中，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y=ax2+bx+1（a#0）的图象上． （1）若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴． （2）若m-n= ，试说明二次函数的图象与x轴必有交点． （3）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m，求mn的取值范围． 8．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题： （1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； （2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 9．若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高. 例如：下图所表示的函数的界高为4. （1）求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高； （2）已知m＞﹣2，若函数y＝x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围； （3）已知a＞0，函数y＝x2﹣2ax+3a（﹣2≤x≤1）的界高为 ，求a的值. 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l：y=kx+b，点A(-3，-3)，B(1，-1)均在直线l上. （1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围； （2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围. 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的右侧），且点的坐标为，连接，过点作交轴于点，. （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为射线上一点，点为第二象限内抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，平移后点的对应点为点，点为线段的中点，点为新抛物线的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点，使以点，，，为顶点的四