【同步辅导】2015高中数学北师大版必修五《等比数列的定义和通项》 课件+导学案（2份）

第6课时　等比数列的定义和通项 * 1.理解等比数列、公比、等比中项的概念. 2.掌握等比数列的通项公式. 3.会运用等比数列的通项公式解决相关数列问题. * 某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为多少? * 等比数列的定义 如果一个数列从　 　,每一项与它前一项的比等于 　　 ,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数就叫作等比数列的　　 ,常用字母“q”表示.  即数列{an}为等比数列⇔an÷an-1=q(n≥2,n∈N+). 第二项起 同一个非零常数 公比 问题1 问题2 * * an=a1qn-1 q2 q q3 a1·qn-1 * 等比中项 qn-m 若{an}是等比数列,则数列{kan}是　 　 ,公比为 　　.  等比数列 q 问题3 问题4 * C D 1 2 【解析】由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5, ∴a1=4,q=,∴an=4·()n-1. 已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于(　　). A.-　　　 B.-2　　　 C.2　　　 D. 已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an等于(　　). A.4·()n　　　　　　　B.4·()n C.4·()n-1 D.4·()n-1 【解析】由通项公式及已知得a1q=2,a1q4=, ∴q3=,解得q=. * 7 3 4 在等比数列{an}中,a1=1,公比q=2,若an=64,则n的值为 .  【解析】因为an=a1qn-1且a1=1,q=2,所以64=26=1×2n-1,所以n=7. 一个等比数列{an}中,a1+a4=133,a2+a3=70,求这个数列的通项公式. 【解析】由题设知两式相除得q=或, 代入a1+a4=133,可求得a1=125或8, ∴an=125()n-1或an=8()n-1. * 用定义探究通项公式 (3)∵=a1a3,=a4a6,=a7a9,… ∴a1a2a3…a30=…=(a2a5a8…a29)3=230, ∴a2a5a8…a29=210. 已知数列{an}为等比数列. (1)若a2=2,a6=162,求a10; (2)若a1+a2=30,a3+a4=120,求a5+a6; (3)若a1a2a3…a30=230,求a2a5a8…a29. * 【解析】(1)设数列{an}的公比为q. ∵a6=a2q4,即有162=2·q4,∴q4=81, ∴a10=a6q4=162×81=13122. (2)∵a1+a2,a3+a4,a5+a6构成等比数列, ∴a5+a6===480. (3)∵=a1a3,=a4a6,=a7a9,… ∴a1a2a3…a30=…=(a2a5a8…a29)3=230, ∴a2a5a8…a29=210. * 等比数列的定义考查 一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则-13是否是这个数列中的一项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 【解析】∵a,2a+2,3a+3是等比数列的前三项,∴a(3a+3)=(2a+2)2,解得a=-1或a=-4. 当a=-1时,数列的前三项依次为-1,0,0,与等比数列的定义矛盾,故a=-1舍去. 当a=-4时,数列的前三项依次为-4,-6,-9, 则公比为q=,∴an=-4()n-1, 令-4()n-1=-13,即()n-1==()3, ∴n-1=3,即n=4,∴-13是这个数列中的第4项. * 7 等比中项的考查 若a、b、c成等比数列,试证:a2+b2,ab+bc,b2+c2也成等比数列. 【解析】由a、b、c成等比数列,则abc≠0且b2=ac, (a2+b2)(b2+c2)=(a2+ac)(ac+c2)=ac(a+c)2=b2(a+c)2=(ab+bc)2, 显然a2+b2、b2+c2都不等于零,且ab+bc≠0, ∴a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列. * 设{an}是公比大于1的等比数列,若a1+a2+a3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.求数列{an}的通项公式. 【解析】设数列{an}的公比为q. 由题意得: 把①-②得:a1=,把a1=代入①得:+2+2q=7, 解得q1=2,q2=.又∵q>1,∴q=2,∴a1=1, ∴数列{an}的通项公式为:an=2n-1. * 已知等比数列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n. 【解析】∵1,x1,x2,…,x2n,2成等比数列,公比q, ∴2=1·q2n+1,xn=qn, ∴x1·x2·x3·…·x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n ==qn(2n+1)=2n. 已知三