热点4-3 正弦定理与余弦定理解三角形5大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点4-3 正弦定理与余弦定理解三角形5大题型 “解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。 一、解三角形中常用结论及公式 1、解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理：A+B+C=. （2）三角形边角不等关系：. 2、诱导公式在中的应用 （1）； （2）； 3、三角形中，最大的角不小于，最小的角不大于. 二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状 设a是三角形中最长的边，则 （1）若，则是锐角三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； 或（1）若 ,则是锐角三角形； （2） 若 ,则是直角三角形； （3） 若 ,则是钝角三角形； 三、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 四、解三角形应用题的常见情形 1、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． 2、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形． 3、设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的角． 4、涉及四边形等非三角形图形时，可以作辅助线，将图形分割成三角形后求解． 【题型1 利用正余弦定理解三角形的边与角】 【例1】（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）在中，角的对边分别为已知，， （1）证明： （2）若求的周长. 【变式1-1】（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）在中，角所对的边分别为．已知且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【变式1-2】（2023春·安徽·高三统考开学考试）在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答． 已知中，内角所对的边分别为，且________． （1）求的值; （2）若，求的周长与面积． 【变式1-3】（2023·福建·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）已知，求的面积． 【题型2 利用正余弦定理判断多边形形状】 【例2】（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-1】（2022·上海嘉定·统考一模）已知，那么“”是“为钝角三角形”的（ ） A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件 C．充要条件 D．以上皆非 【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-3】（2022秋·北京·高三校考期中）在中，已知，那么一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则一定是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 【题型3 利用正余弦定理解多三角形问题】 【例3】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，. （1）求； （2）若，边上中线，求的面积. 【变式3-1】（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）已知中内角的对边分别是，. （1）求的值