【同步辅导】2015高中数学北师大版必修五《等比数列的应用》 课件+导学案（2份）

第8课时　等比数列的应用 * 1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质. 2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题. * 前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要. * 等比数列通项公式的性质 (1)对任意的m,n∈N+,an=am·　　 ,q= 　 .  (2)若m+n=p+q,则　　 ,特别地,若m+n=2p,则 　　 .  (3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为　　.  (4)①数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列,公比为　　.  ②若{an}为等比数列,公比为q,则{a2n}也是等比数列,公比为　　.  ③若{an}为等比数列,公比为q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比为　 　.  ④若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列,公比是两等比数列公比之　　.  qn-m am·an=ap·aq qk q q2 q2 积 问题1 * 等比数列的前n项和的简单性质 (1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比为　　 (q≠1).  (2)当q≠1时,Sn=Aqn+B(其中A+B=　　).  (3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比). qm 0 问题2 * * 等比数列的单调性 (1)当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递　　数列;  (2)当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递　 　数列;  (3)当a1>0,0<q<1时,等比数列{an}是递　　数列;  (4)当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递　 　数列;  (5)当q<0时,等比数列{an}是　　 数列;当q=1时,等比数列{an}是　　数列.  常 增 减 摆动 B 增 减 问题4 1 数列9,99,999,9999,…的前n项和等于(　　). A.10n-1　　　　　　　　B.-n C.(10n-1) D.(10n-1)+n 【解析】由题意得an=10n-1,∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)=(10+102+…+10n)-n=-n. * A 126 2 等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6=　　　　.  【解析】在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4成等比数列, ∵S2=6,S4-S2=24,∴S6-S4==96, ∴S6=S4+96=126. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2013=3S2012+2014,a2012=3S2011+2014,则公比q等于(　　). A.4　　 B.1或4 C.2 D.1或2 【解析】由a2013=3S2012+2014与a2012=3S2011+2014相减得,a2013-a2012=3a2012,即q=4,故选A. * 4 已知数列{an}的通项an=2·3n,求由其奇数项所组成的数列的前n项和Sn. 【解析】由an=2·3n得==3,又a1=6, ∴{an}是等比数列,其公比为q=3,首项a1=6, ∴{an}的奇数项也成等比数列,公比为q2=9,首项为a1=6, ∴Sn==(9n-1). * 　 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列的应用 在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4. 【解析】(法一)∵{an}为等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列, ∴(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28或-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,∴S4=28. (法二)∵S2=7,S6=91,∴q≠1.∴ * 7 　等比数列的证明 得q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=±. 当q=时,a1=,∴S4==28; 当q=-时,a1=-,∴S4==28. 数列{an}满足:a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n∈N+). (1)记dn=an+1-an,求证:{dn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 【解析】(1)a1=1,a2=,∴a2-a1=-1=, 又an+2-an+1=an+1-an. ∴=,即dn+1=dn. * 　二次函数在实际中的应用 故数列{dn}是以为首项,为公比的等比数列. (2)由(1)得dn=an+1-an=()n, ∴an=(an-a