【同步辅导】2015高中数学北师大版必修五《等差数列的定义和通项》 课件+导学案（2份）

第3课时　等差数列的定义和通项 * 1.理解等差数列、公差、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式. 3.会运用等差数列的通项公式解决相关数列问题. * 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,会采用定期放水的方式清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18 m,自然放水每天水位降低2.5 m,最低降至5 m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成的数列(单位:m)是我们今天要学习的一种数列. * 等差数列通项公式的推导 通项公式:an=　　 .  (1)累加法:设数列{an}是等差数列,则an-an-1=d(n≥2,d为常数),于是 a2-a1=d, a3-a2=d, …… (1)等差数列的定义:如果一个数列从　　 ,每一项与它前一项的差等于　　 ,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作这个数列的　 　,常用字母“d”表示.即数列{an}为等差数列⇔an- an-1=d(n≥2,n∈N+).  (2)等差中项的定义:若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫作a与b的　　 ,且A=　 .  同一个常数 公差 等差中项 第二项起 a1+(n-1)d 问题1 问题2 * * an-an-1=d, 将这n-1个等式相加, 得an-a1=　　 ,即an=　　 .  这个推导方法称作累加法,是求等差数列的通项公式的常用方法. 通项公式的变形:由等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d得am=　　 ,所以an-am=　　 ,即通项公式an也可表示为an=　　 .  　　(2)归纳法:若一等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则据其定义可得: a2-a1=　　,即:a2=a1+　　;  a3-a2=　　,即:a3=a2+d=a1+　　;  a4-a3=　　,即:a4=a3+d=a1+　　;  …… 由此归纳等差数列的通项公式可得:an=　　 . a1+(n-1)d (n-1)d a1+(m-1)d (n-m)d am+(n-m)d d d d 2d 3d d a1+(n-1)d * 等差数列的单调性 等差数列{an}中,若公差d>0,则数列{an}为　　 数列;若公差d<0,则数列{an}为　　 数列 ; 若公差d=0,则数列{an}为　　数列.   (n-m)d ap+aq=ar+as 递增 等差 等差 递减 常 问题4 问题3 * C C 1 2 设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第37项为(　　). A.0 B.37 C.100 D.-37 已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则它的公差为(　　). A.2　　　　B.3　　　　C.-2　 　　D.-3 【解析】由an=a1+(n-1)d得an=(a1-d)+nd,可知d=-2,故选C. 【解析】∵{an}、{bn}为等差数列, ∴{an+bn}也为等差数列. 又公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-100=0, 故数列{an+bn}为常数列, ∴an+bn=100. * 42 3 4 在等差数列{an}中,若a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6= .  【解析】设等差数列{an}的公差为d,由a2+a3=13,得2a1+3d=13,解得d=3, ∴a4+a5+a6=3a1+12d=3×2+12×3=42. 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,求an. 【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26, 所以有解得a1=3,d=2, 所以an=3+2(n-1)=2n+1. * 考查等差数列的定义 已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p、q是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,求出首项与公差;若不是,请说明理由. 【解析】当n≥2时,取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2),则an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p(p为常数), ∴{an}是等差数列,首项a1=p+q,公差为p. * 7 三个数成等差时的“巧设” 已知三个数成等差数列,它们的和为15,且第三个数与第二个数的平方差为56,求这三个数. 【解析】根据条件可设三个数依次为a-d,a,a+d, 则 解得a=5,d=4或-14. 故这三个数依次为1,5,9或19,5,-9. * 等差数列中的相同项问题 已知等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问有多少 个数同时在这两个数列中出现? 【解析】第一个数列