【同步辅导】2015高中数学北师大版必修五《等差数列的应用》 课件+导学案（2份）

第5课时　等差数列的应用 1.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质. 2.能应用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题. 前面我们共同学习了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累加法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中有着重要的地位. 问题1:等差数列通项公式的性质 (1)若m+n=p+q,则　　　　　　　　　　,特别:若m+n=2p,则　　　　　　　　　　　.  (2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为　　　　　.  (3)数列{an}、{bn}都是等差数列,公差分别为d1,d2,则数列{c·an},{c+an},{pan+qbn}也是等差数列,其中c、p、q均为常数,公差分别为　　　　　、　　　　　、　　　　　　　　.  问题2:等差数列的前n项和的简单性质 (1)已知{an}是等差数列,求前n项和的最值时: 若a1>0,d<0,且满足则前n项和Sn　　　　;  若a1<0,d>0,且满足则前n项和Sn　　　　.  (2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列,公差为　　　　　.  (3)在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇=　　　　;S偶∶S奇=　　　　　　;  当项数为奇数2n+1时,S奇-S偶=　　　　　　;S偶∶S奇=　　　　　.  问题3:等差数列的判定方法 (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证　　　　　为同一常数.  (2)等差中项法:验证2an-1=　　　　　　(n≥3,n∈N+)成立.  (3)通项公式法:验证an=　　　　　.  (4)前n项和公式法:验证Sn=　　　　　　　　　　　　.  问题4:通项公式,前n项和公式的函数意义 (1)当d≠0时,通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数. (2)将公式Sn=na1+变形整理得Sn=n2+(a1-)n.故当d≠0时,Sn是关于n的一个二次函数,它的图像是抛物线　　　　　　　　　　上横坐标为正整数的一群孤立的点.  (3) =n+(a1-)是关于n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),即数列{}是以　　　　　　为公差的等差数列.  1.等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a6+a7等于(　　). A.21　　　 B.28　　　 C.32　　　 D.35 2.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于(　　). A.13 B.26 C.52 D.156 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a9+a11=30,那么S13的值是　　　　.  4.已知{an}为等差数列,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n等于多少? 利用性质若m+n=p+q,则am+an=ap+aq解题 在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{an}的通项公式. Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列的应用 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36.求a7+a8+a9. 等差数列前n项和最大值的求法 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大,并说明理由. 已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.求数列{an}的通项公式. 已知两个等差数列{an}、{bn},它们的前n项和分别是Sn、S'n,若=,求. 在等差数列{an}中,若a5+a7=4,a6+a8=-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值. 1.在等差数列{an}中,an<0,++2a3a8=9,那么S10等于(　　). A.-9　　　 B.-11　　　 C.-13　　　 D.-15 2.设等差数列{an}的前n项和是Sn,若-am<a1<-am+1(m∈N+,且m≥2),则必定有(　　). A.Sm>0,且Sm+1<0 B.Sm<0,且Sm+1>0 C.Sm>0,且Sm+1>0 D.Sm<0,且Sm+1<0 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,)在直线y=x+4上,则an=　　　　.  4.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,其前n项和为Sn,求数列{}的前10项和. (2013年·安徽卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于(　　). A.-6 B.-4 C.-2 D.2 考题变式(我来改编)