【同步辅导】2015高中数学北师大版必修五《基本不等式的实际应用》 课件+导学案（2份）

第7课时 基本不等式的实际应用 * 1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题. 3.能利用基本不等式解决实际问题. * 今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2. * 56 x=12 要求最大值或最小值的变量 函数关系式 函数的最大值或最小值 最大值或最小值 问题1 问题2 * 设阴影部分的高为x dm,宽为 dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(+2)-72=8+2(x+)≥8+2×2=　 　.  当且仅当　 ,即 　时,取得最小值.  用基本不等式解实际应用问题的步骤 (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把　 　定为函数;  (2)建立相应的　 　,把实际问题抽象为　 　问题;  (3)在定义域内,求出函数的　 　;  * 问题4 利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+≥2=2,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=. 利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性. * D 1 在下列不等式的证明过程中,正确的是(　　). A.若a,b∈R,则+≥2=2 B.若a,b都为正数,则lg a+lg b≥2 C.若x<0,则x+≥-2=-2 D.若x≤0,则3x+3-x≥2=2 【解析】对于A,若+≥2,则须a,b同号;对于B,应有a>1,b>1;对于C,∵x<0,∴x+=-[(-x)+]≤-2;只有D正确. * B A.5　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.4 2 已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为(　　). 【解析】∵x<,∴4x-5<0, ∴y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3 ≤-2+3=1. 当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立. ∴当x=1时,函数取最大值1. * 20 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　 　　吨.  【解析】一年的总运费与总存储费用之和为×4+4x=4(+x)≥4×2=160,当且仅当=x,即x=20时等号成立. * 4 已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1, 求证:(-1)(-1)(-1)≥8. 【解析】∵a,b,c都为正数,a+b+c=1, ∴-1===+≥. 同理-1≥,-1≥. 上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 (-1)(-1)(-1)≥··=8, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. * 利用基本不等式求函数的最值 求函数y=(x>1)的最小值. 【解析】y==(x-1)++2, ∵x-1>0,∴y≥2+2=8. 当且仅当x-1=,即x=4时取“=”. ∴ymin=8. * 7 利用基本不等式解实际应用问题 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? * 【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=,则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160=80(2+)+4160(x>1). (2)∵80(2+)+4160≥80×2+4160=1600+4160=5760, 当且仅当2=,即x=2.5时等号成立,此时,a=40,ax=100. ∴要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. * 把实际问题转化成数学模型 如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米1